חבורה אבלית חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חבורה אבלית חופשיתאנגלית: Free abelian group) היא חבורה אבלית בעלת בסיס.

הקבוצה \ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\} היא בסיס לחבורה האבלית \ G כאשר כל איבר ב-\ G אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-\ S מעל המספרים השלמים \ \mathbb{Z}, זאת אומרת שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה \ g = n_1 e_1 + n_2 e_2 + n_3 e_3... \in G כאשר n_i \in \mathbb{Z}. הבסיס \ S אינו חייב להיות בן מנייה.

לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים \ S=\{e_1,e_2\} אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה איזומורפית ל-\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.

פרט למקרה של יוצר יחיד, חבורה אבלית חופשית איננה חבורה חופשית. המונח חופשית מתייחס לקיומה של קבוצת יוצרים ללא יחסים בין איבריה; בקבוצת יוצרים של חבורה אבלית חופשית מתקיים יחס החילוף \ x y = y x , ללא יחסים נוספים (פרט לאלו הנובעים מיחס החילוף). החבורה האבלית הלא-טריוויאלית היחידה שהיא חופשית היא חבורת השלמים  \mathbb{Z} , הנוצרת על ידי איבר בודד.

כל קבוצה \ S יכולה להוות בסיס לחבורה אבלית חופשית. חבורה אבלית חופשית אינה אלא מודול חופשי מעל חוג המספרים השלמים.