חבורה אבלית חופשית

במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית (באנגלית: Free abelian group) היא חבורה אבלית בעלת בסיס.

הקבוצה $\ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\}$ היא בסיס לחבורה האבלית $\ G$ כאשר כל איבר ב-$\ G$ אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-$\ S$ מעל המספרים השלמים $\ \mathbb{Z}$, זאת אומרת שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה $\ g = n_1 e_1 + n_2 e_2 + n_3 e_3... \in G$ כאשר $n_i \in \mathbb{Z}$. הבסיס $\ S$ אינו חייב להיות בן מנייה.

לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים $\ S=\{e_1,e_2\}$ אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו $g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2$. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה איזומורפית ל-$\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.

פרט למקרה של יוצר יחיד, חבורה אבלית חופשית איננה חבורה חופשית. המונח חופשית מתייחס לקיומה של קבוצת יוצרים ללא יחסים בין איבריה; בקבוצת יוצרים של חבורה אבלית חופשית מתקיים יחס החילוף $\ x y = y x$, ללא יחסים נוספים (פרט לאלו הנובעים מיחס החילוף). החבורה האבלית הלא-טריוויאלית היחידה שהיא חופשית היא חבורת השלמים $\mathbb{Z}$, הנוצרת על ידי איבר בודד.

כל קבוצה $\ S$ יכולה להוות בסיס לחבורה אבלית חופשית. חבורה אבלית חופשית אינה אלא מודול חופשי מעל חוג המספרים השלמים.