משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

המשוואה הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

כאשר:

$x,y,z$ - הן קואורדינטות קרטזיות.
$p$ - לחץ כפונקציה של $x$ .
$h$ - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של $x$ .
$\rho$ - צפיפות הנוזל.
$\mu$ - צמיגות הנוזל.
$U_{a}$ - מהירות בכיוון $x$ של המשטח התחתון.
$U_{b}$ - מהירות בכיוון $x$ של המשטח העליון.
$w_{a}$ - מהירות בכיוון ציר $y$ של המשטח התחתון.
$w_{b}$ - מהירות בכיוון ציר $y$ של המשטח העליון.

הנחות המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
אינרציה וכוחות גוף זניחים.
שינויים בלחץ לאורך ציר $z$ זניחים כלומר $p=p(x,y)$
הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

משמעות איברי המשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)$ - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)$ -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
$\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}$ - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
$\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)$ - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
$h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ - התפשטות מקומית של הנוזל.

הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=h\left(U_{a}+U_{b}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho }{2}}\right)+\rho h{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\left(U_{a}+U_{b}\right)\rho {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {h}{2}}\right)$

עבור משטחים קשיחים האיבר ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=0$
שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות ${\frac {\partial h}{\partial x}}<0$
האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר $x$ זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה. ${\frac {\partial h}{\partial x}}>>{\frac {\partial \rho }{\partial x}}$

פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

דוגמה לפתרון אנליטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר $x$ במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

הנחות לפתרון הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מצב מתמיד. ${\frac {\partial }{\partial t}}=0$
זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה $\rho =const,\mu =const$ .
מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. $h<<L$
בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.

עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\rho U{\frac {\partial h}{\partial x}}$