משפט ההרחבה של טיצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, משפט ההרחבה של טיצה הוא משפט בסיסי לגבי מרחבים נורמליים. קיימים מספר ניסוחים שקולים למשפט הזה, והם מציינים באופן כללי שבמרחב נורמלי ניתן להרחיב פונקציה שרציפה על קבוצה סגורה לפונקציה רציפה על כל המרחב. המשפט למעשה מספק תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב טופולוגי יהיה נורמלי.

נשים לב שבאופן כללי רציפות על תת מרחב של מרחב טופולוגי כלשהו שונה מאוד מרציפות על המרחב כולו. לדוגמה, פונקציית דיריכלה לא רציפה באף נקודה על הישר הממשי, אך אם נסתכל עליה כפונקציה מתת המרחב של המספרים הרציונליים היא תהיה פונקציה קבועה ובפרט רציפה, למרות שכפונקציה מכל המרחב היא לא הייתה רציפה אפילו במספרים הרציונליים.

משפט זה מהווה הכללה ללמה של אוריסון כיוון שהלמה של אוריסון מראה שניתן להרחיב פונקציה שקבועה בכל אחת משתי קבוצות סגורות זרות, ובפרט רציפה, לפונקציה רציפה על כל המרחב.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב טופולוגי \ X הוא מרחב נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה \ A\subseteq X אם \ f : A \to [0,1] רציפה, אז קיימת הרחבה רציפה שלה למרחב כולו \ F: X \to [0,1] כלומר, כזו עבורה לכל x \in A מתקיים \ F(x) = f(x). בניסוח קטגורי, ניתן לנסח את המשפט כך: בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים, הקטע \,[0,1] הוא אובייקט אינג'קטיבי.