משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו- $\alpha,\beta,\gamma$ הזויות שמולן, בהתאמה, אז ${a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R$ כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן ב - $h$ ניתן להצגה באופן הבא:

$\ h = b \sin \alpha$

אבל גם באופן הזה:

$\ h = a \sin \beta$

ולכן:

$\ b \sin \alpha = a \sin \beta$

או

$\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, ההוכחה נכונה עבור הזווית המשלימה לזווית הקהה, אך זה לא משנה על פי הזהות $\sin \alpha = \sin (180-\alpha)$. כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC. במשולש ישר-זווית זה (הזווית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטר של מעגל). נסמן ב -$\delta$ את הזווית CDB ואז

$\ a = 2R \sin \delta$

אבל זווית $\delta$ שווה לזווית $\alpha$ כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$\ a = 2R \sin \alpha$

או

$\ \frac{a}{ \sin \alpha} = 2R$

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה $\alpha$ הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה $\beta$.

ראו גם

• משפט הקוסינוסים
• משפט הטנגנסים