משפט הסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

Triangle and circumcircle with notations.png

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי מנת החילוק של אורך צלע במשולש בסינוס הזווית שמולה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם ארכי הצלעות ו- A,B,C הזויות שמולן, בהתאמה, אז ${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$ כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

תוכן עניינים

1 הוכחה
- 1.1 א
- 1.2 ב
2 ראו גם

[עריכה] הוכחה

[עריכה] א

Law of sines proof.png

גובה המשולש המסומן ב - $h$ ניתן להצגה באופן הבא:

$\ h = b \sin A$

אבל גם באופן הזה:

$\ h = a \sin B$

ולכן:

$\ b \sin A = a \sin B$

או

$\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

[עריכה] ב

Law of sines.png

כעת, נסתכל במשולש DBC הנמצא בתוך המעגל החוסם. במשולש ישר זווית זה

$\ a = 2R \sin D$

אבל זווית D שווה לזווית A כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$\ a = 2R \sin A$

או

$\ \frac{a}{ \sin A} = 2R$

כנדרש.

נשים לב, שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה A הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה B.

[עריכה] ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: רשימת נוסחאות בטריגונומטריה

משפט הקוסינוסים

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%9D

קטגוריות: משולש | טריגונומטריה

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

תיבת כלים