סינוס (טריגונומטריה)

גרף הפונקציה סינוס

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

סינוס (מסומן ב-$\ \sin$) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה באופן בסיסי לכל זווית מספר בין 1- ל-1. הרחבות שונות שלה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט אנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית גם בפיזיקה ובמדעים אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתאור גל.

הגדרות

הגדרה בסיסית

במשולש זה, סינוס הזווית A שווה $\frac{a}{c}$

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הסינוס מציינת את היחס בין הניצב ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שמול הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או $\frac{\pi}{2}$ רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של זווית מוגדר היטב.

הרחבה

הגדרת הסינוס של מספר כלשהו $\ \theta$

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר $\ \theta$ הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא $\ \theta$ (ברדיאנים).

אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה

טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

$\sin x = \ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: $\sin x \approx x$, מכיוון שכשאר x קטן החזקה השלישית שלו וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

$\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

וכן,

$\sin x = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i}$ (ראו פונקציה היפרבולית)

הגדרות נוספות

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

$\sin x = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.$

שבר זה מתקבל מטור טיילור לעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

תכונות

התכונות להלן מתייחסות לפונקציה הממשית

• פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, משום שמתקיים $\sin \ (-x) = -\sin \ (x)$.
• פונקציית הסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של $\ 2\pi$. זאת משום שסיבוב של $\ 2\pi$ מחזיר אותך לנקודת המוצא.
• פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל $\ x$. לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה $\ x = \frac{\pi}{2} + \ 2 \pi k$ (מקסימום) ו-$\ x = -\frac{\pi}{2} + \ 2 \pi k$ (מינימום), כאשר $\ k$ מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1.
• לפנוקציה אינסוף שורשים מהצורה $\ x =\pi k$, כאשר $\ k$ מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
• התמונה של הפונקציה היא $\ [-1,1]$.

נגזרת

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

${d \over dx} \sin x = \cos x$

הוכחה

לפי הגדרתה, הנגזרת שווה לגבול:

$\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0}$

על פי הזהות הטריגונומטרית: $\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \;$
נקבל:

$\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{ 2 \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \;$

נשתמש בגבול הטריוויאלי: $\ \lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over 2} = 0$, בגבול המפורסם: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$ וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

$\lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; =\lim_{x \to x_0} 1 \cdot \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; = \cos\left({2x \over 2}\right) \; = \cos x$ מש"ל.

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לעצמה. מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה $\ f''(x) = - f(x)$ כאשר $\ f(0) = 0$ ו-$\ f'(0) = 1$.‏

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס: $\int \sin x \,dx = -\cos x+C$

ערכים

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זויות נפוצות:

x (זווית)			sin x
מעלות	רדיאנים	גראדים	במדויק	קירוב עשרוני
0°	0	0g	0	0
180°	$\pi$	200g
15°	$\frac{\pi}{12}$	162/3g	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	0.258819045102521
165°	$\frac{11 \cdot \pi}{12}$	1831/3g
30°	$\frac{\pi}{6}$	331/3g	$\frac{1}{2}$	0.5
150°	$\frac{5 \cdot \pi}{6}$	1662/3g
45°	$\frac{\pi}{4}$	50g	$\sqrt{\frac{1}{2}}$	0.707106781186548
135°	$\frac{3 \cdot \pi}{4}$	150g
60°	$\frac{\pi}{3}$	662/3g	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0.866025403784439
120°	$\frac{2 \cdot \pi}{3}$	1331/3g
75°	$\frac{5 \cdot \pi}{12}$	831/3g	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	0.965925826289068
105°	$\frac{7 \cdot \pi}{12}$	1162/3g
90°	$\frac{\pi}{2}$	100g	1	1

זהויות

ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות

• פונקציית הסינוס מקיימת: $\ \sin(-\theta) = -\sin\theta$ וכן $\ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta$
• בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$ ‏, $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$ ‏, $\cot\theta = {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$ ‏, $\csc\theta = {1 \over \sin \theta}$ ‏, $\sec\theta = {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}$
• סכום זוויות: $\sin(\theta \pm \varphi) = \sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi$
• זווית כפולה: $\ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ ‏, $\ \sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta$ ובאופן כללי $\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$
• חצי זווית: $\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
• סכום סינוסים: $\sin \theta + \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)$ ‏, $\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \;$

הפונקציה ההפוכה

גרף פונקציית הארכסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת $\ \arcsin$ או $\ \sin^{-1}$. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע $\ [-1 ,1]$, וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים $\ [-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}]$. הנגזרת שלה היא ${d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$.

משפט הסינוסים

ערך מורחב – משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

${a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R$

כאשר הזוויות $\alpha,\beta,\gamma$ נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סינוס בוויקישיתוף

• סינוס, באתר MathWorld (באנגלית)