משולש ישר-זווית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svgהמונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.
משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
  • התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
  • הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
  • ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
  • כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
  • ניצב מול 30 מעלות שווה חצי יתר.משפט הפוך : אם ניצב שווה חצי יתר : הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
  • חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם \ a ו-\ b, היתר הוא \ c והגובה ליתר הוא \ h, אז מתקיים:

\ a^2+b^2=c^2 (משפט פיתגורס)

וכן:

\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}

שטח המשולש הוא:

\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא \ r, אז מתקיים:

 r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}

אם התיכונים לניצבים הם \ m_a ו-\ m_b והתיכון ליתר הוא \ m_c, אז מתקיים:

m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2

הגדרת פונקציות טריגונומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (\frac{\pi}{2} רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית \alpha הכלואה בין הניצב \ b והיתר \ c ומול הצלע \ a מוגדר:

\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולש כסף[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולש כסף הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא השורש הריבועי של 2. מריבוע שמועבר בו האלכסון מקבלים שני משולשי כסף.

משולש זהב[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולש זהב הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס הזהב.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]