משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר. או לחלופין, הגובה שווה לשורש של מכפלת שני חלקי היתר: $h=\sqrt{a*b}$ .
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.

אם הניצבים של המשולש הם $\ a$ ו-$\ b$, היתר הוא $\ c$ והגובה ליתר הוא $\ h$, אז מתקיים:

$\ a^2+b^2=c^2$ (משפט פיתגורס)

וכן:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}$

שטח המשולש הוא:

$\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $\ r$, אז מתקיים:

$r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}$

אם התיכונים לניצבים הם $\ m_a$ ו-$\ m_b$ והתיכון ליתר הוא $\ m_c$, אז מתקיים:

$m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2$

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות מגדירים במשולש ישר-זווית עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ($\frac{\pi}{2}$ רדיאנים) כיחס בין שתי צלעות במשולש. עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $\ b$ והיתר $\ c$ ומול הצלע $\ a$ מתקיים:

$\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש כסף

משולש כסף הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא השורש הריבועי של 2. מריבוע שמועבר בו האלכסון מקבלים שני משולשי כסף.

משולש זהב

משולש זהב הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס זהב.

קישורים חיצוניים

• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)