משפט הקוסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשת משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזוויות שמול c היא \gamma, משפט הקוסינוסים קובע:

\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו \gamma = 90^\circ ולכן: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90^\circ = a^2 + b^2 - 2ab\cdot 0 = a^2 + b^2.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקוסינוסים במשולש חד-זווית

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: BC^2+AC^2=AB^2+2 \cdot  AREA_{\color {blue} DHIC}.

מכיוון ש  AREA_{\color {blue} DHIC} \color {black} =BC \cdot AC \cdot \cos(ACB) מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה טריגונומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית
  1. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,..
    (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
  2. נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,..
  3. באותו אופן מקבלים: a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\, , b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.
  4. מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\, .
  5. לאחר העברת אגפים נקבל:  ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,.
  6. לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c 2 ומתקבל משפט הקוסינוסים: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,.

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

שימוש במשפט פיתגורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

Triangle

ניקח משולש בעל צלעות \ a, \ b ו-\ c, ובעל זוויות \beta, \alpha ו-\gamma ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית \beta לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

c^2 = (a \sin \gamma)^2 + (b - a \cos \gamma)^2\,
= a^2 \sin^2 \gamma + b^2 - 2 ab \cos \gamma + a^2 \cos^2 \gamma\,
= a^2 (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) + b^2 - 2ab \cos \gamma\,
=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\,

היות ש:

\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma=1\,.

שימוש במשפט תלמי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Ptolemy cos.svg

את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.

\begin{align}
& BF=AE=BC\cos(\angle CBA)=a\cos(\angle CBA) \\
\Rightarrow \ & DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos(\angle CBA).  
\end{align}

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

\begin{align}
& AD \times BC + AB \times DC = AC \times BD \\
\Rightarrow \ & a^2 + c(c-2a\cos(\angle CBA))=b^2 \\
\Rightarrow \ & a^2+c^2-2ac \cos(\angle CBA)=b^2.
\end{align}

שימוש באנליזה וקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור להוכחה

את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל לינארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור \mathbb{R}^2 ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.

קל לראות מהאיור ש-\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}.

נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:

c^2 = \vec{c}\cdot\vec{c} = (\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

שכן הזווית \gamma שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים \vec{a} ו-\vec{b} (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור \vec{b} ).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]