משפט הקוסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן $\ a, b, c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha, \beta, \gamma$ בהתאמה, משפט הקוסינוסים קובע:

$\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו $\gamma = 90^\circ$ ולכן: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90^\circ = a^2 + b^2 - 2ab\cdot 0 = a^2 + b^2$ .

[עריכה] היסטוריה

משפט הקוסינוסים במשולש חד-זווית

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שמוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: $BC^2+AC^2=AB^2+2 \cdot AREA_{\color {blue} DHIC}$ .

מכיוון ש $AREA_{\color {blue} DHIC} \color {black} =BC \cdot AC \cdot \cos(ACB)$ מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פתוחו של ענף ההטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

[עריכה] הוכחות

[עריכה] הוכחה טריגונומטרית

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית

נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). $c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.$ .
(השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: $c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.$ .
באותו אופן מקבלים: $a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,$ , $b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,$ .
מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: $a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,$ .
לאחר העברת אגפים נקבל: $ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,$ .
לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c² ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,$ .

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

[עריכה] שימוש במשפט פיתגורס

ניקח משולש בעל צלעות b, a ו-c, ובעל זוויות B, A ו-C ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית B לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

$c^2 = (a \sin C)^2 + (b - a \cos C)^2\,$

$= a^2 \sin^2 C + b^2 - 2 ab \cos C + a^2 \cos^2 C\,$

$= a^2 (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2ab \cos C\,$

$=a^2+b^2-2ab\cos C\,$

היות ש:

$\sin^2 C + \cos^2 C=1.\,$

[עריכה] שימוש במשפט תלמי

את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.

$\begin{align} & BF=AE=BC\cos\hat{B}=a\cos\hat{B} \\ \Rightarrow \ & DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos\hat{B}. \end{align}$

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

$\begin{align} & AD \times BC + AB \times DC = AC \times BD \\ \Rightarrow \ & a^2 + c(c-2a\cos\hat{B})=b^2 \\ \Rightarrow \ & a^2+c^2-2ac \cos\hat{B}=b^2. \end{align}$

[עריכה] ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: רשימת נוסחאות בטריגונומטריה

משפט הסינוסים

[עריכה] קישורים חיצוניים

משפט הקוסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)

משפט הקוסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] היסטוריה

[עריכה] הוכחות

[עריכה] הוכחה טריגונומטרית

[עריכה] שימוש במשפט פיתגורס

[עריכה] שימוש במשפט תלמי

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות