משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן $\ a, b, c$ והזוויות שמול c היא $\gamma$, משפט הקוסינוסים קובע:

$\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו $\gamma = 90^\circ$ ולכן: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90^\circ = a^2 + b^2 - 2ab\cdot 0 = a^2 + b^2$.

היסטוריה

משפט הקוסינוסים במשולש חד-זווית

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: $BC^2+AC^2=AB^2+2 \cdot AREA_{\color {blue} DHIC}$.

מכיוון ש $AREA_{\color {blue} DHIC} \color {black} =BC \cdot AC \cdot \cos(ACB)$ מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

הוכחות

הוכחה טריגונומטרית

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית

1. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). $c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.$.
   (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
2. נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: $c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.$.
3. באותו אופן מקבלים: $a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,$ , $b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,$.
4. מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: $a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,$ .
5. לאחר העברת אגפים נקבל: $ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,$.
6. לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c ² ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,$.

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

שימוש במשפט פיתגורס

ניקח משולש בעל צלעות $\ a$, $\ b$ ו-$\ c$, ובעל זוויות $\beta$, $\alpha$ ו-$\gamma$ ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית $\beta$ לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

$c^2 = (a \sin \gamma)^2 + (b - a \cos \gamma)^2\,$

$= a^2 \sin^2 \gamma + b^2 - 2 ab \cos \gamma + a^2 \cos^2 \gamma\,$

$= a^2 (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

$=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\,$

היות ש:

$\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma=1\,$.

שימוש במשפט תלמי

את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.

$\begin{align} & BF=AE=BC\cos(\angle CBA)=a\cos(\angle CBA) \\ \Rightarrow \ & DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos(\angle CBA). \end{align}$

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

$\begin{align} & AD \times BC + AB \times DC = AC \times BD \\ \Rightarrow \ & a^2 + c(c-2a\cos(\angle CBA))=b^2 \\ \Rightarrow \ & a^2+c^2-2ac \cos(\angle CBA)=b^2. \end{align}$

שימוש באנליזה וקטורית

איור להוכחה

את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל לינארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור $\mathbb{R}^2$ ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.

קל לראות מהאיור ש-$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:

$c^2 = \vec{c}\cdot\vec{c} = (\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

שכן הזווית $\gamma$ שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$ (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור $\vec{b}$ ).

ראו גם

• משפט הסינוסים
• משפט הטנגנסים

קישורים חיצוניים

• משפט הקוסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)