פונקציות טריגונומטריות

בראש התמונה מוצגת הפונקציה הטריגונומטרית סינוס (sin) עבור הזוויות θ, π − θ, π + θ ו-2π − θ בארבעת הרבעים של מעגל היחידה. בתחתית התמונה מוצג הגרף של פונקציית הסינוס, כשהזוויות מראש התמונה מודגשות

במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות של זווית. הן משמשות לקשור בין הזוויות במשולש לאורכי צלעותיו. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, במידול תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.

הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית

הפונקציות סינוס וקוסינוס על מערכת הצירים.

במשולש ישר-זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):

• סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\sin A = \frac{a}{c}$

• קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\cos A = \frac{b}{c}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines - סינוס הזווית המשלימה.

הפונקציות מקיימות $\sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2}-\alpha)$ ו- $\cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)$

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

• טנגנס של זווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\tan A = \frac{a}{b}$

הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, ובאופן הזה ניתן להגדיר אותה לאורך כל הישר הממשי. הטנגנס לא מוגדר כשהזווית שווה ל- ⁰180n+90 (כש-n הוא מספר שלם), שכן (cos (180n+90 שווה ל-0.

לכל אחת מפונקציות אלו יש גם פונקציה הופכית.

• קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר הוא הפונקציה ההופכית לטנגנס. הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית וכך הוא מוגדר לכל מספר ממשי. לכן, בדומה לטנגנס, הוא לא מוגדר לזוויות השוות ל- 180n.
• סקאנס של זווית (sec x) השווה ל-$\left(\cos x\right)^{-1}$.
• קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל-$\left(\sin x\right)^{-1}$.

על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות. הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות מסומנות: arcsin x, arccos x וכו', ותוצאתן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

על מנת להימנע מדו-משמעות בביטויים כמו sin⁻¹(x)‎, הפונקציות ההפוכות וההופכיות של הפונקציות הטריגונומטריות מסומנות לעתים קרובות כמו בטבלה שלהלן. לייצוג פונקציית קוסקנט משתמשים לעתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.

קיימות גם פונקציות טריגונומטריות נוספות, כגון $havercosine(x) = \frac{1+cos(x)}{2}$, פונקציות היפרבוליות, ועוד.

פונקציה		פונקציה הפוכה		פונקציה הופכית		פונקציה הפוכה והופכית
סינוס	sin	arcsine	arcsin	cosecant	csc	arccosecant	arccsc
קוסינוס	cos	arccosine	arccos	secant	sec	arcsecant	arcsec
טנגנס	tan	arctangent	arctan	cotangent	cot	arccotangent	arccot

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן $\ x \ge 90^{\circ}$ או $\ x \le 0^{\circ}$, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית $\theta$ הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית $\theta$, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

לסיכום:

• סינוס הוא ערך ה-Y של הנקודה
• קוסינוס הוא ערך ה-X של הנקודה
• טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0) או היחס בין סינוס לקוסינוס
• קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1) או היחס בין קוסינוס לסינוס

מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

ערך מורחב – קירוב זוויות קטנות

את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם:

$\ \sin(x) =x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -... \approx x$

ו-

$\ \cos(x) =1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -... \approx 1-\frac{x^2}{2}$

(כל החישובים נעשים ברדיאנים). פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.

כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את $\ \sin(80^{\circ})$ ניתן להשתמש בנוסחה $\ \sin(x)=\cos(90^{\circ}-x)$ ולחשב רק את $\ \cos(10^{\circ})$, וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא קירוב זוויות קטנות.

הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים

ניתן להרחיב את הפונקציות הטריגונומטריות למישור המרוכב באמצעות הקשר ההדוק שלהן לפונקציית האקספוננט המתבטא על ידי נוסחת אוילר. בתחום זה הפונקציות כבר אינן חסומות בערכן המוחלט אך סכום הריבועים שלהן נשאר 1.

נוסחת אוילר מקשרת בין הפונקציות הטריגונומטריות לאקספוננט, באמצעות הקשר: $\ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ מהזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים: $\ e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$ ולכן: $\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ וגם $\ \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$.
הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את הפונקציות הטריגונומטריות לערכים מרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר ה-X.

סינוס של זוויות רציונליות

מהצבה בפולינום צ'בישב נובע שהסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה רציונלית של π הוא תמיד מספר אלגברי. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6. תכונה זו נכונה גם לקוסינוס.

ראו גם

• זהויות טריגונומטריות
• נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
• פונקציות היפרבוליות
• טור טיילור
• נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

קישורים חיצוניים

• הדמיה אינטראקטיבית של פונקציית הסינוס ופונקציית הקוסינוס