טריגונומטריה

עמוד מתוך ספר המתמטיקה הגרמני Manuale Mathematicum משנת 1617 המתאר שימוש בטריגונומטריה

טריגונומטריה (מיוונית τρίγωνον "משולש" + μέτρον "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בחקר המשולשים והקשר שבין צלעותיהם וזוויותיהם. קשר זה מבוטא בעזרת פונקציות טריגונומטריות, שהמוכרות שבהן הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הטריגונומטריה התפתחה במאה ה-3 לפני הספירה כענף של גאומטריה עבור שימושים באסטרונומיה. כיום לטריגונומטריה יישומים רבים מעבר לאסטרונומיה, למשל עבור ניווט, אופטיקה ובתאוריית המוזיקה.

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

תכונות של יחסים בין חלקי משולש היו ידועים כבר במצרים העתיקה, אך הרעיון של מדידת הזוויות הומצא רק מאוחר יותר, על ידי היוונים הקדמונים, ולכן מקובל לראות את תחילת הטריגונומטריה באותה תקופה. בתקופה זו, מתמטיקאים כגון אוקלידס וארכימדס הוכיחו משפטים גאומטריים בעזרת זוויות.

פונקציית הסינוס המודרנית הוגדרה לראשונה במאה ה-5 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבחטה (Aryabhata).

למרות זאת, ענף הטריגונומטריה עדיין לא היה מפותח באירופה של המאה ה-16. ניקולאוס קופרניקוס נאלץ להקדיש שני פרקים בספרו Coelestium Orbium De Revolutionibus כדי להסביר מושגים בסיסיים שלה. הענף קבל תנופה במדידות כוכבים שבוצעו על ידי ספנים על מנת לקבוע מסלולי שיט.

בספרות הרבנית, החל מהמאה ה-14 וכמעט עד לימינו, כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי, בעל הספר "יסוד עולם".

פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

הגדרת סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנס של זווית α על מעגל היחידה

בטריגונומטריה מספר פונקציות טריגונומטריות המתארות יחסים בין צלעות במשולשים ישרי זווית.
במשולש ישר זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):

• סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\sin A = \frac{a}{c}$

• קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\cos A = \frac{b}{c}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines - סינוס הזווית המשלימה.

הפונקציות מקיימות $\sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2}-\alpha)$ ו- $\cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)$

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

• טנגנס של זווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\tan A = \frac{a}{b}$

הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, ובאופן הזה ניתן להגדיר אותה לאורך כל הישר הממשי.

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר זווית, בהן $\ x \ge 90^{\circ}$ או $\ x \le 0^{\circ}$, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית α הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית α, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

יישומי הטריגונומטריה

נקודת הטריאנגולציה בהמרפסט, חלק מהקשת הגאודזית של שטרובה, מפעל אשר השתמש בטריגונומטריה במטרה לחקור ולקבוע את גודלו וצורתו המדויקת של כדור הארץ

ישנם שימושים רבים מספור לטריגונומטריה ולפונקציות טריגונומטריות. לדוגמא, טכניקת הטריאנגולציה משומשת באסטרונומיה למדידת המרחק של כוכבים סמוכים, בגאוגרפיה למדידת המרחק בין עצמים שונים במרחב ובתקשורת לזהוי מקור האות של הטלפון הסלולרי. פונקציות הסינוס והקוסינוס הן עקרונות בסיסיים בתאוריית הפונקציה המחזורית, כגון אלו המתארות את התנהגות גלי האור והקול. תחומים נוספים בהם עושים שימוש בטריגונומטריה כוללים פיסיקה, סיסמולוגיה, ארכיטקטורה, פונטיקה, כלכלה, קריסטלוגרפיה ופיתוח משחקי מחשב.

ראו גם

• טור טיילור
• נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: טריגונומטריה

• טריגוקליק - אתר עזר ללומדי טריגונומטריה
• מתמטיקה לכל - אתר מתמטיקה לכל - מצגות והסברים בטריגונומטריה