טריגונומטריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

דיסק עזר למציאת ערכי פונקציות טריגונומטריות מהמאה ה 16

טריגונומטריה (מיוונית trigōnon "משולש" + metron "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. מקורו ההיסטורי של הענף במדידות כוכבים שבוצעו על ידי ספנים על מנת לקבוע מסלולי שיט. את הקשרים האלו מאפיינים על ידי הפונקציות הטריגונומטריות, כאשר רב העיסוק בתחום מתמקד באפיון תכונותיהן. הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן הסינוס והקוסינוס. בספרות הרבנית, החל מהמאה ה-14 וכמעט עד לימינו, כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי, בעל הספר "יסוד עולם".

תוכן עניינים

1 הפונקציות הבסיסיות
2 הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה
3 פונקציות נוספות
4 "נוסחאון"
5 קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות
6 הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים
7 ראו גם
8 קישורים חיצוניים

[עריכה] הפונקציות הבסיסיות

בטריגונומטריה שתי פונקציות בסיסיות המתארות יחסים בין צלעות במשולשים ישרי זווית: סינוס וקוסינוס.
במשולש ישר זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים): סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\sin A = \frac{a}{c}$

קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\cos A = \frac{b}{c}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sinus - סינוס הזווית המשלימה.

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

הפונקציות סינוס וקוסינוס על מערכת הצירים.

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר זווית, בהן $\ x \ge 90^{\circ}$ או $\ x \le 0^{\circ}$ , על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית $θ$ הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית $θ$ , וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

ניתן להרחיב את הפונקציות הטריגונומטריות למישור המרוכב באמצעות הקשר ההדוק שלהן לפונקציית האקספוננט המתבטא על ידי נוסחת אוילר. בתחום זה הפונקציות כבר אינן חסומות בערכן המוחלט אך סכום הריבועים שלהן נשאר 1.

שני המשפטים הבסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.

[עריכה] הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

זהו מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.
הוא מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

סינוס הוא הערך על ציר Y
קוסינוס הוא הערך על ציר X
טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0)
קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1)

[עריכה] פונקציות נוספות

בנוסף על שתי הפונקציות הבסיסיות, סינוס וקוסינוס, ניתן להגדיר באופן טבעי ארבע פונקציות טריגונומטריות נוספות על ידי היחסים האחרים שבמשולש ישר זווית. את כל הפונקציות האלו ניתן לבטא על ידי הסינוס והקוסינוס:

טנגנס של זווית (tg x או tan x) השווה ליחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית. קל לראות שלמעשה הטנגנס מתקבל על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, ובאופן הזה ניתן להגדיר אותה לאורך כל הישר הממשי. הטנגנס לא מוגדר כשהזווית שווה ל- ⁰180n+90 (כש-n הוא מספר שלם), שכן (cos (180n+90 שווה ל-0. בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין ציר ה-X.
קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר הוא הפונקציה ההופכית לטנגנס. הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית וכך הוא מוגדר לכל מספר ממשי. לכן, בדומה לטנגנס, הוא לא מוגדר לזוויות השוות ל- 180n.
סקאנס של זווית (sec x) השווה ל- $\left(\cos x\right)^{-1}$ .
קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל- $\left(\sin x\right)^{-1}$ .

על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות. הפונקציות ההפוכות לפונקציות הטריגונומטריות מסומנות: arcsin x, arccos x וכו', ותוצאתן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

[עריכה] "נוסחאון"

דרך קלה לזכור את ערכי הפונקציות סינוס וקוסינוס:
$\begin{matrix} & 0^{o} & 30^{o} & 45^{o} & 60^{o} & 90^{o} \\ sin: & \dfrac{\sqrt{0}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ \\ cos: & \dfrac{\sqrt{4}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{0}}{2} \end{matrix}$

[עריכה] קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם:

$\ \sin(x) =x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -... \approx x$

ו-

$\ \cos(x) =1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -... \approx 1-\frac{x^2}{2}$

(כל החישובים נעשים ברדיאנים). פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.

כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את $\ \sin(80^{\circ})$ ניתן להשתמש בנוסחה $\ \sin(x)=\cos(90^{\circ}-x)$ ולחשב רק את $\ \cos(10^{\circ})$ , וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

[עריכה] הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים

נוסחת אוילר מקשרת בין הפונקציות הטריגונומטריות לאקספוננט, באמצעות הקשר: $\ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ מהזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים: $\ e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$ ולכן: $\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ $\ \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את הפונקציות הטריגונומטריות לערכים מרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.