משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקארד-לינדלוף, משפט הקיום של פיקארד או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: צ'ארלס אמיל פיקארד, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי D מלבן סגור המכיל את הנקודה \ (t_0,y_0) בפנים שלו. תהי \,f פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-D, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה \,y המוגדרת בקטע פתוח סביב \,t_0 וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית \ y'(t) = f(t,y(t)) לכל t בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה \ y(t_0) = y_0.

סקירת ההוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

\varphi_0(t)=y_0 \,\!

וגם

\varphi_i(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\varphi_{i-1}(s))\,ds.

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של \varphi_i \,\! (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על |\varphi(t)-\psi(t)| , כאשר \varphi ו-\displaystyle \psi הם שני פתרונות, יראה ש-\varphi(t)\equiv\psi(t), ולכן הפתרון הוא יחיד.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]