משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקארד-לינדלוף, משפט הקיום של פיקארד או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: צ'ארלס אמיל פיקארד, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות

יהי D מלבן סגור המכיל את הנקודה $\ (t_0,y_0)$ בפנים שלו. תהי $\,f$ פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-D, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה $\,y$ המוגדרת בקטע פתוח סביב $\,t_0$ וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית $\ y'(t) = f(t,y(t))$ לכל t בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה $\ y(t_0) = y_0$.

סקירת ההוכחה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

$\varphi_0(t)=y_0 \,\!$

וגם

$\varphi_i(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\varphi_{i-1}(s))\,ds.$

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של $\varphi_i \,\!$ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על $|\varphi(t)-\psi(t)|$ , כאשר $\varphi$ ו-$\displaystyle \psi$ הם שני פתרונות, יראה ש-$\varphi(t)\equiv\psi(t)$, ולכן הפתרון הוא יחיד.

ראו גם

• משוואות דיפרנציאליות רגילות
• משפט פרוביניוס
• משפט הקיום של פאנו

לקריאה נוספת

• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים

• נקודת שבת והאלגוריתם של פיקארד
• איטרציית פיקארד
• הוכחה למשפט פיקארד-לינדלוף