משפט חוצה הזווית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
חוצה זווית פנימית

בגאומטריה, משפט חוצה זווית קובע שחוצה זווית במשולש (זווית פנימית או זווית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.

למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זווית \angle A וחותך את BC ב-D, ולכן, \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}

המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת המשפט

נסמן באותיות יווניות את שני חלקי הזווית החצויה: ב-\ \alpha את החלק הקרוב לישר AB וב-\ \beta את החלק הקרוב לישר AC.

נסמן נקודה K על AB (או על המשכה), כך ש-CK\|AD

נקבל, על פי משפט תאלס, \frac{BA}{AK}=\frac{BD}{DC}

מכיוון ש-CK\|AD, נקבל \angle AKC=\alpha (כי זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו) וגם \angle ACK=\beta (כי זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)

מכיוון ש-\ \alpha=\beta (כי AD חוצה זווית), נקבל, על פי כלל המעבר, \angle ACK=\angle AKC

מכיוון שבמשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות, AK=AC

נציב תוצאה זו, ונקבל \frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}

הערה: במשולש שווה-שוקיים וגם במשולש שווה-צלעות :הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש - אשר חוצה את הבסיס ל 2 חלקים שווים - באותו היחס 1:1 כמו היחס בין 2 השוקיים של הזווית - השוות בגודלן .