זווית חיצונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הזוויות המסומנות באותיות 'β, β', δ, δ הן זוויות חיצוניות למשושה שבתמונה.

בגאומטריה, בהינתן מצולע כלשהו, זווית חיצונית היא זווית בין צלע להמשך הצלע הסמוכה.

הגדרה זאת טובה לזוויות הקטנות מ-180 (כמו כל הזוויות במצולע קמור). גודלה של זווית חיצונית לזוויות a הוא a‏-180, ולכן אם גודלה של הזווית הוא יותר מ-180, מתייחסים אל הזווית החיצונית כאל זווית שלילית.

במשולש, זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזווית הפנימיות שאינן צמודות לה. תכונה זאת שקולה לאקסיומת המקבילים, ועל כן היא נכונה רק בגאומטריה האוקלידית. תכונה חלשה יותר, לפיה זווית חיצונית גדולה משתי הזוויות האחרות, איננה דורשת את אקסיומת המקבילים ועל כן היא נכונה גם בגאומטריות הלא-אוקלידיות. היא הוכחה בספרו של אוקלידס, יסודות, לפני שהוא החל להשתמש באקסיומה.

סכום הזוויות החיצוניות במצולע הוא 360 מעלות. הוכחה: נניח שבמצולע יש n קודקודים, אז סכום כל הזוויות הפנימיות והחיצוניות הוא 180n (שהרי בכל קודקוד סכום הפנימית והחיצונית הוא 180) אבל סכום הזוויות הפנימיות הוא 180n-360 (הוכחה) ולכן סכום הזוויות החיצוניות הוא 180n-(180n-360) = 360.