משתמש:Yair.Korn/טיוטה

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה בה הנעלם הינו פונקציה, כאשר המשוואה מתארת קשר כלשהו בין הפונקציה לבין נגזרותיה.
למשוואה דיפרנציאלית יש שימושים רבים בתחומי המתמטיקה והמדע - זאת כיוון שבדרך כלל אנחנו רוצים למצוא באמצעות הנוסחאות שלנו פתרונות התלויים בזמן או במיקום ולא פתרונות קבועים כאלה או אחרים.

שימושים של משוואות דיפרנציאליות

כאמור, למשוואה דיפרנציאלית ישנם שימושים רבים במתמטיקה ובמדעים המדויקים - כדוגמת פיסיקה, הנדסה, וביולוגיה וכן במטאורולוגיה וכלכלה.

שימושים לדוגמא

פיסיקה	משתמשים במשוואה דיפרנציאלית כדי למצוא את מהירותו של גוף מסוים, זאת ע"י משוואת התנע: $F={\frac {dP(t)}{dt}}$
ביולוגיה	משתמשים במשוואה דיפרנציאלית כדי למצוא קצב התרבות של חידקים. לדוגמא, אם הקצב פורפורציונלי לכמות, אז המשוואה היא: $\alpha N(t)={\frac {dN(t)}{dt}}$
כלכלה	משתמשים במשוואה דיפרנציאלית כדי למצוא את התלות של הביקוש במחיר, לדוגמא, אם הביקוש פורפורציונלי למחיר, אזי המשוואה היא: $\gamma A(p)=-{\frac {dA(p)}{dp}}$
הנדסה	משתמשים במשוואה דיפרנצאלית בשביל לחשב את התאוצה של גוף כתוצאה מקפיץ וכוח חיכוך התלוי במהירות: $m{\ddot {x}}=-k_{1}x-k_{2}{\dot {x}}$ בפיסיקה (וכמו כן בהנדסה), הנקודה מעל ה-x מציינת נגזרת לפי זמן.

סיווג משוואות דיפרנציאליות

ישנם מספר מאפיינים לפיהם מסווגים משוואות דיפרנציאליות:

מאפיין המשוואה	ערכים אפשריים
סוג	רגילה, חלקית, לינארית, ספרבילית, סטוכסטית
סדר	סדר הנגזרת הגבוה ביותר במשוואה, לדוגמא: הסדר של $f^{(5)}(x)$ הוא 5 ושל $f''(x)$ הוא 2.
מעלה	החזקה של הנגזרת בעלת הסדר הגבוה ביותר במשוואה.

פתרון משוואות דיפרנציאליות

משוואות דיפרנציאליות הן לא משוואות קלות לפתרון. ישנן משוואות רבות שאיננו יודעים לפתור ואנו יכולים לפתור אותן באופן נומרי בלבד, ויש כאלה שגם פתרון נומרי קשה מדי למציאה.
בכל מקרה, בבואנו לפתרון משוואות דיפרנציאליות עלינו לדעת כמה דברים:

• מספר הקבועים בפתרון המשוואה יהיה כסדר המ"ד (=משוואה דיפרנציאלית).
• על מנת שיהיה לנו נוח יותר לכתוב משוואות דיפרנציאליות נציין רק את הפונקציה, כלומר: במקום לכתוב $F(x)$, נכתוב $F$.
• ישנן עשרות רבות של שיטות לפתור מ"ד. נציג כאן רק בודדות:

שיטת ה"ניחוש"

כאשר יש לנו משוואה דיפרנציאלית פשוטה (לרוב מהצורה $F^{(n)}=f(x)F$) ואנחנו מזהים דפוס מסוים במשוואה - דהיינו נראה לנו שאנחנו מזהים את הפתרון, אנחנו יכולים פשוט לנחש פתרון, להציב אותו במשוואה ולבדוק את נכונותו. לדוגמא:

$\gamma F={\frac {dF}{dt}}$ : משוואה זו מזכירה לנו נגזרת של אקספוננט, לכן ננחש פתרון: $F(t)=Ae^{\gamma t}$

נוכל להציב חזרה במשוואה ולקבל שהפתרון מדויק.
שיטה זו היא הפשוטה ביותר מבין כל השיטות, אך רק לעיתים נדירות נוכל להשתמש בה.

שיטת הפרדת משתנים

כאשר יש לנו משוואה דיפרנציאלית רגילה שהיא נגזרת כלשהי של y לפי x, ואנחנו יכולים להפריד לחלוטין בין הפונקציות המתארות את x לפונקציות המתארות את y, נוכל לקחת את המשוואה, להעביר אגפים ולבצע אינטגרציה עד לקבלת הפתרון:

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f(x)\times f(y)\rightarrow \int _{n}{\frac {dx^{n}}{f(x)}}=\int _{n}{\frac {d^{n}y}{f(y)}}$

בדרך כלל נשתמש בשיטה זו על מנת לפתור משוואות דיפרנציאליות ממעלה נמוכה - ראשונה או שנייה, כיוון שביצוע אינטרגל מספר רב של פעמים על משתנה יחיד לרוב מסובך עד בלתי פתיר. ניקח לדוגמא מד"ר מסדר ראשון:

${\frac {dy}{dx}}=(x^{2}y-4y)ln{(y)}\rightarrow \int (x^{2}-4)dx=\int {\frac {dy}{y\ ln{(y)}}}\rightarrow {\frac {x^{3}}{3}}-4x=\ln {(\ln {(y)})}+c$

כעת נרצה לקבל ביטוי פשוט יותר למה שקיבלנו, ואולי אפילו לבודד את y. לכן נגדיר $c=\ln {(a)}$ ונקבל:

$a\ln {(y)}=e^{{\frac {x^{3}}{3}}-4x}\rightarrow y=e^{\frac {e^{{\frac {x^{3}}{3}}-4x}}{a}}$

וקיבלנו את הפתרון, אף על פי שהוא מסורבל במקצת. נשים לב ש-a הוא קבוע שהתקבל. קיבלנו רק קבוע אחד - זאת כיוון שהמשוואה היא מסדר ראשון.

שיטת ההצבה (הומוגניות)

כאשר יש לנו מד"ר ליניארית הומוגנית מסדר ראשון ואיננו יכולים לבצע בה הפרדת משתנים, אנחנו יכולים להשתמש בשיטת ההצבה על מנת לפתור אותה. בשיטה זו אנחנו נחליף את $y$ במשתנה $z$ שהוא פונקציה כלשהי של $x,y$ ונביא את המשוואה למצב של הפרדת משתנים, משם נפתור אותה כרגיל ונציב את $y$ בחזרה. ראשית, נצטרך לוודא שהמשוואה בנויה בצורה הבאה:

$F{(x,y)}dx+G{(x,y)}dy=0$

לאחר מכן נגדיר את משתנה $z$ כנ"ל, נמצא את $dy$ כפונקציה של $z$ וכך נביא את המשוואה להיות בצורה הבאה:

$F_{new}{(x)}dx=G_{new}{(z)}dz$

כעת נוכל לפתור את המשוואה כאמור, לפי הפרדת משתנים והצבת $y$ חזרה. ייתכן ודרך זו נשמעת מעורפלת מעט, אך לאחר הדוגמא הבאה היא תהיה ברורה הרבה יותר:

$y{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}dx-x(x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})dy=0\rightarrow {\frac {y}{x}}{\sqrt {({\frac {y}{x}})^{2}+1}}dx=(1+{\sqrt {({\frac {y}{x}})^{2}+1}})dy$

אנחנו מזהים שהמשוואה הזו היא אכן מד"ר ליניארית הומוגנית מסדר ראשון, לכן נבחר להשתמש בשיטת ההצבה, נגדיר את ההצבה: $z={\frac {x}{y}}$ ומכאן -$dy=xdz+zdx$. כך נקבל במקום את המשוואה הבאה:

$z{\sqrt {z^{2}+1}}dx=(1+{\sqrt {z^{2}+1}})(xdz+zdx)$

כעת נבצע הפרדת משתנים ונקבל:

${\frac {dz}{dx}}=-{\frac {z}{x(1+{\sqrt {z^{2}+1}})}}$

מכאן פתירה רגילה של הפרדת משתנים וקבלת התשובה, לאחר מכן נציב חזרה את הערך של $y=xz$ במשוואה שנקבל כפתרון, וכך נקבל את הפתרון הסופי למשוואה הדיפרנציאלית הזו.

פתרון באמצעות טורי טיילור

שיטה נוספת, שונה מכל הקודמות שהוזכרו, היא פתרון באמצעות טורי טיילור. טור טיילור הוא טור חזקות בצורה הבאה:

$f(x)=y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}$

ולכן נוכל להגדיר את הנגזרת הראשונה $y'$ ואת הנגזרת השנייה $y''$ וכך הלאה, בצורה הבאה:

$y'=\sum _{n=2}^{\infty }na_{n}x^{n-1},y''=\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}$

קישורים חיצוניים

• הרצאות מוקלטות של פרופ' דניאל הרשקוביץ בטכניון על משוואות דיפרנציאליות רגילות, באתר YouTube
• משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואה דיפרנציאלית חלקית, באתר MathWorld (באנגלית)
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, בפרויקט UnderWarrior
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, בפרויקט UnderWarrior
• משוואות דיפרנציאליות רגילות - סיכום הקורס, אתר הטכניון