פונקציית זטא

בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית זטא הוא שם לכמה פונקציות החולקות מספר תכונות משותפות עם הדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו - פונקציית זטא של רימן. המושג אינו מוגדר באופן מדויק, והוא מתייחס בדרך כלל לפונקציות מרוכבות המקיימות את ארבע התכונות הבאות:

1. מרומורפיות בכל המישור המרוכב.
2. יש להן פיתוח לטור דיריכלה, בצורה $\ \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$, המתכנס כאשר החלק הממשי של s גדול מספיק.
3. יש להן פיתוח למכפלת אוילר, כמו הפיתוח $\ \zeta (s)=\prod _{p}(1-{\frac {b_{p}}{p^{s}}})^{-1}$, כאשר המכפלה היא על-פני המספרים הראשוניים.
4. הן מקיימות משוואה פונקציונלית, כדוגמת זו הקושרת את $\ \zeta (1-s)$ עם $\ \zeta (s)$ בפונקציית זטא של רימן.

בין הסוגים החשובים ביותר של פונקציות זטא אפשר למצוא את פונקציות L של דיריכלה, פונקציות זטא של דדקינד, פונקציות L כלליות יותר, שפותחו על ידי ארטין ווייל, ורבות אחרות.

לקריאה נוספת

• Mathematical Society of Japan's Encyclopedic Dictionary of Mathematics (pp 1372-1392), MIT Press, 1977.

קישורים חיצוניים

• פונקציית זטא, באתר MathWorld (באנגלית)