פונקציית זטא של רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

גרף של פונקציית זטא עבור s>1 ממשי

פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת הקרויה על שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן, ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים, בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים. לפונקציה שימושים גם בפיזיקה, בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה. באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן, שהיא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה. הראשון לחקור את הפונקציה היה לאונרד אוילר במאה ה-18.

פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים \, s בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}. לטור דיריכלה זה קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט בנקודה \, s=1. פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא.

ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל. כך למשל \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} ו-\zeta(4)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.

באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן: ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מצורת 2n- כאשר n טבעי, נמצאים על הישר \ Re(s)=\frac{1}{2}. השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.

הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר:  \zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} , כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.

המשכה אנליטית והמשוואה הפונקציונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום \ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר \ \Re(s) = 1. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע המשכה אנליטית: \ \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \sum_{n=1}^{\infty}s \int_n^{\infty} \frac{dt}{t^{s+1}} = s \int_1^{\infty} \frac{[t]}{t^{s+1}}dt = \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{t-[t]}{t^{s+1}}dt. האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר \ \Re(s) = 0, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.

אם מגדירים \ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s), כאשר \ \Gamma היא פונקציית גמא, אז מתקיים השוויון \ \Lambda(s) = \Lambda(1-s) לכל s מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר \ Re(s)=1/2, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל. אפשר להוכיח אותה מן הזהות \ \theta(i/t) = t^{1/2}\theta(i t) שמקיימת פונקציית תטא \ \theta(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i n^2 z}.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Riemann's zeta function, H.M. Edwards, 1974.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.