פונקציית זטא של רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גרף של פונקציית זטא עבור s>1 ממשי

פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים $\, s$ בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$ , שהוא גם טור דיריכלה. לפונקציה זו קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט בנקודה $\, s=1$ .

הפונקציה קרויה על שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן, ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים, בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים. לפונקציה שימושים גם בפיזיקה, תורת ההסתברות וסטטיסטיקה. פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא.

ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל. כך למשל $\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ ו- $\zeta(4)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$ .

באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן: ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מצורת 2n- כאשר n טבעי, נמצאים על הישר $\ Re(s)=\frac{1}{2}$ . השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.

הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר: $\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$ , כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.

[עריכה] המשוואה הפונקציונלית

אם מגדירים $\ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)$ , כאשר $\ \Gamma$ היא פונקציית גמא, אז מתקיים השוויון $\ \Lambda(s) = \Lambda(1-s)$ לכל s מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר $\ Re(s)=1/2$ , היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל.