פירוק לערכים סינגולריים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הדגמה חזותית של פירוק SVD של מטריצה ממשית דו-ממדית M שהיא Shear transformation. תחילה, ניתן לראות את דיסק היחידה, בכחול, ועליו מסומנים שני וקטורי היחידה הקאנוניים. לאחר מכן ניתן לראות את הפעולה של M, שמעתיקה את הדיסק לאליפסה.
פירוק ה-SVD מפרק את M לשלוש העתקות פשוטות: העתקת סיבוב (rotation)‏ V*‎, העתקת מתיחה (scaling)‏ Σ שמותחת את הנקודות לאורך מערכת הצירים המסובבת והעתקת סיבוב נוספת U. הערכים σ1 ו-σ2 של צירי האליפסה הם הערכים הסינגולריים של M.

באלגברה לינארית, פירוק לערכים סינגולריים (Singular value decomposition - SVD) היא שיטת פירוק של מטריצה מרוכבת או ממשית, שלה שימושים רבים בעיבוד אותות ובסטטיסטיקה.

פורמלית, פירוק לערכים סינגולריים של מטריצה ממשית או מרוכבת M בעלת ממדים m×n הוא פירוק מהצורה:

\mathbf{M} = \mathbf{U} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{V}^*

כאשר U היא מטריצה יוניטרית ממשית או מרוכבת מממד m×m, ‏Σ היא מטריצה אלכסונית מלבנית מממד m×n עם ערכים ממשיים לא-שליליים על האלכסון, ו-V*‎ (הצמודה ההרמיטית של V) היא מטריצה יוניטרית ממשית או מרוכבת מממד n×n. ערכי האלכסון של Σ, ‏Σi,i, נקראים הערכים הסינגולריים של M. כמו כן, m העמודות של U ו-n העמודות של V נקראות הווקטורים הסינגולריים השמאליים והווקטורים הסינגולריים הימניים של M, בהתאמה.

הפירוק מקיים את התכונות הבאות:

  • הווקטורים הסינגולריים השמאליים של M הם וקטורים עצמיים של MM*‎.
  • הווקטורים הסינגולריים הימניים של M הם וקטורים עצמיים של M*M.
  • הערכים הסינגולריים השונים מאפס של M (שעל האלכסון של Σ) הם שורשים ריבועיים של הערכים עצמיים השונים מאפס הן של M*M והן של MM*‎.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.