ערך עצמי

ערך זה עוסק במושג מתמטי. אם התכוונתם למושג מתחום הפסיכולוגיה, ראו הערכה עצמית.

באלגברה לינארית, ערך עצמי (Eigenvalue) של טרנספורמציה לינארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, כך שקיים וקטור שונה מוקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת הטרנספורמציה עליו, או הכפלתו במטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של טרנספורמציה או מטריצה הוא וקטור כזה, שעבורו הטרנספורמציה או מטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת הטרנספורמציה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות וטרנספורמציות, שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

הגדרה פורמלית

יהי $\ V$ מרחב וקטורי ותהא $\ T:V\rarr V$ טרנספורמציה לינארית. אם קיים וקטור $\ v\isin V$ השונה מאפס וסקלר $\ \lambda$ כך ש-$\ T(v)=\lambda v$, אזי נקרא ל־$\ \lambda$ ערך עצמי של $\ T$, ול־$\ v$ נקרא וקטור עצמי (Eigenvector) של $\ T$ השייך לערך העצמי $\ \lambda$.

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי $\ A$ מטריצה ריבועית מסדר $\ n$ מעל שדה $\ \mathbb F$ ויהי $\ v\isin \mathbb F ^n$ וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר $\ \lambda\isin\mathbb F$ כך ש-$\ Av=\lambda v$, אז $\ v$ יקרא וקטור עצמי של $\ A$ השייך לערך העצמי $\ \lambda$.

וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה $\,A$, הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר $\,\lambda$ הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית $\left( A - \lambda I \right) v = 0$, כאשר $\,I$ היא מטריצת היחידה. אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של $\,\lambda$, והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים (כלומר, $\ v\neq 0$), אז $\,\lambda$ הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים לינארית זה בזה.

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה $\left( A - \lambda I \right) v = 0$. הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

• את השם "וקטור עצמי" לרוב רושמים כקיצור בתור ו"ע. כמו כן ע"ע עבור "ערך עצמי".

מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מסייעים להצגת טרנספורמציות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית לתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

• השיטה הנפוצה ביותר היא באמצעות הפולינום האופייני של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם שורשיו.
• שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי עיגולי גרשגורן.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הינם וקטורים עצמיים שלה.

• למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
• סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
• מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

ספקטרום

ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות t בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל $\ A-tI$. קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

ראו גם

• דמיון מטריצות
• לכסון מטריצות
• מטריצה
• משפט קיילי המילטון
• פולינום אופייני
• פולינום מינימלי
• צורת ז'ורדן

קישורים חיצוניים

• מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה