שורש ריבועי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שורש ריבועי של מספר a כלשהו הוא מספר, שאם מכפילים אותו בעצמו מקבלים את a. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי. מכל השורשים, השורש הריבועי נקרא דווקא כך בגלל משמעותו הגאומטרית: אם a הוא שטחו של ריבוע, אז אורך צלעו של הריבוע שווה לשורש הריבועי של a. כאשר ההקשר ברור, השורש הריבועי מכונה לעתים גם שורש.

למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים ממשיים: למשל, למספר 100 יש את השורשים 10 ומינוס 10, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 100. על כן, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר הכוונה היא בדרך כלל לשורש החיובי שלו. השורש הריבועי מסומן כך: \sqrt{a}.

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה חיובית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעיה זו: במספרים המרוכבים יש שני שורשים ריבועיים לכל מספר (ממשי או מרוכב).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

השורש הממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה \ f(x)=\sqrt{x}, שנקראת פונקציית השורש, היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מהמספרים הממשיים האי-שליליים לעצמם. פונקציה זו היא רציפה בכל מקום שבו היא מוגדרת, וגזירה עבור כל מספר חיובי. בנקודה \ x=0 פונקציית השורש לא גזירה (גם לא באופן חד-צדדי), והנגזרת שלה שואפת לאינסוף, כאשר המשתנה שואף לאפס.
פונקציית השורש משמרת את פעולת הכפל ואת פעולת החילוק, כלומר:

\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} לכל x , y  \ge 0
\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{y} } = \sqrt{\frac{x}{y}} לכל \ x \ge 0 \ \ , y > 0

לעומת זאת, פונקציית השורש בדרך כלל לא משמרת חיבור, כלומר:

\sqrt{x} + \sqrt{y} \ne \sqrt{x+y}

קל לראות ששוויון מתקבל אם ורק אם \ xy=0 כלומר אחד המספרים, או שניהם הוא אפס.

השורש המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

במספרים המרוכבים, לכל מספר יש שני שורשים. בניגוד למספרים הממשיים, במישור המרוכב אין דרך להגדיר מספר חיובי ולכן לא ניתן להחזיר תמיד את "השורש החיובי" כמו שאפשר לעשות במספרים הממשיים, ולכן הבחירה איזה שורש מהשורשים מיוצג בפונקציה היא שרירותית. ההגדרה המקובלת לפונקציית השורש במספרים המרוכבים היא באמצעות פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי המרוכבות, בהתאם להגדרת החזקה המרוכבת:

\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2} \log z}

הגדרה זו למעשה מעבירה את נקודת ההחלטה לבחירת הענף של הלוגריתם, כאשר שינוי הענף יוסיף \ i\pi למעריך החזקה ולכן יכפיל את השורש ב 1-.

במספרים המרוכבים, פונקציית השורש לא רציפה בכל המישור, כיוון שפונקציית הלוגריתם איננה רציפה. מהסיבה הזו הנוסחאות הרגילות של מכפלת שורשים ומנת שורשים לא בהכרח מתקיימות. לדוגמה:

\ 1= \sqrt{1} = \sqrt{ -1 \cdot -1} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1

פיתוח לטור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת הבינום של ניוטון נותנת את טור טיילור \sqrt{1 + x} = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\!, המתכנס עבור  \ \left| x \right| <1 .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]