G-מודול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

G-מודול הוא חבורה אבלית M שעליה פועלת חבורה G באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של M.‏ G-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי G חבורה ותהי M חבורה אבלית כך ש-G פועלת של M משמאל, כלומר:

G \times M \to M \quad ; \quad (g,m) \mapsto g \cdot m

כך ש-1_G \cdot m = m ולכל g_1,g_2 \in G ו-m \in M מתקיים g_1 g_2 \cdot m = g_1 \cdot (g_2 \cdot m).

כדי ש-M תהייה G-מודול נדרוש שפעולת G מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של M, כלומר

\forall g \in G : \forall a,b \in M : g \cdot (a + b) = g \cdot a + g \cdot b.

במקרה זה אנו אומרים ש-M הוא G-מודול שמאלי. אם G פועלת על M מימין באופן דומה נקבל G-מודול ימני. את קטגוריית ה-G מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-G-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסעיף זה נניח שכל ה-G-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-G-מודולים ימניים.

העתקה f : MN תיקרא מורפיזם של G-מודולים או העתקה G-לינארית או G-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של G (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

f(a+b) = f(a)+f(b) ו-f(g \cdot m) = g \cdot f(m).

האוסף של G-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה \mathbb{Z}[G].

תת-G-מודול A של G-מודול M הוא תת-חבורה AM כך ש-G \cdot A \subseteq A, כלומר g·aA לכל gG ו- aA. במקרה כזה אפשר להגדיר את G-מודול המנה M/A כחבורת מנה עם הפעולה g·(m + A) = g·m + A.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]