חוג חבורה

באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג R יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה G. לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.

הגדרה

יהא R חוג ו G חבורה, אז חוג החבורה $\ R[G]$ מוגדר להיות אוסף כל הפונקציות f מ G ל R עם תומך סופי, כלומר $\ f(g)=0$ פרט למספר סופי של $g \in G$ . החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י

• $\ (f_1+f_2)(g)=f_1(g) + f_2 (g)$
• $(\alpha \cdot f)(g)=\alpha(f(g))$

כאשר $\ f_1,f_2,f \in R[G]$ הם איברים בחוג, $g\in G$ ו $\alpha \in R$ הוא סקלר. הכפל של שני איברים $\ f_1,f_2 \in R[G]$ מוגדר על ידי קונבולוציה

• $\ (f_1*f_2)(g)=\sum_{h\in G} f_1(h)\cdot f_2(h^{-1}g)$

מאחר ו $\ f_1, f_2$ מתאפסות פרט למספר סופי של $\ g\in G$ אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.

נסמן ב $\chi_g \in R[G]$ את הפונקציה שמקבלת 1 ב g ואפס אחרת, אז כל איבר $\ f \in R[G]$ ניתן לייצוג על ידי

$f = \sum_{g\in G} f(g) \chi_g$

כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול על ידי הקבוצה $\{ \chi_g \mid g\in G\}$ וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י

• $\left(\sum_{g\in G} \alpha_g \chi_g \right) \cdot \left(\sum_{h\in G} \beta_g \chi_h \right) = \sum_{g,h\in G} \alpha_g \beta_h \chi_{gh}$

לעתים נוהגים לסמן את $\ \chi_g$ על ידי איבר החבורה g ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה $\sum \alpha_g \cdot g$ כאשר $\alpha_g \in R$ הם כולם אפס פרט למספר סופי.

תכונות

1. תת-החוג $\ \{\alpha \cdot e \mid \alpha \in R \}$ של חוג החבורה $\ R[G]$ (כאשר e הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג R.
2. חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה $\ R[G]$, מכילה תת-חבורה איזומורפית לחבורה G - זו התת-חבורה $\{ 1\cdot g \mid g\in G \}$ (כאשר 1 הוא היחידה של החוג R).
3. אם החוג R והחבורה G הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה $\ R[G]$ הוא קומוטטיבי.
4. אם H היא תת-חבורה של G אז $\ R[H]$ הוא תת-חוג של $\ R[G]$. בצורה דומה, אם S הוא תת-חוג של R אז $\ S[G]$ הוא תת-חוג של $\ R[G]$.
5. אם $\ R=F$ שדה סגור אלגברית (או כל שדה המפצל את החבורה, כלומר שדה שמעליו $\ F[G]$ מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל $\ F$) אז מספר חוגי המטריצות המשתתפים בסכום (השווה למשל למספר האידאלים המקסימליים של החוג) שווה למספר מחלקות הצמידות בחבורה.

חוג החבורה בתורת ההצגות

הצגה של חבורה $G$ היא מרחב וקטורי $V$ (מעל שדה $k$ כלשהו) יחד עם הומומורפיזם $\pi:G\to Aut (V)$. על כל הצגה של $G$ יש מבנה טבעי של מודול מעל $k[G]$. בניה זאת מגדירה שקילות קטגורית בין קטגורית ההצגות של $G$ וקטגורית המודולים מעל $k[G]$.

חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של $G$ בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמול, ופעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל). הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו"ההצגה הרגולרת הימנית" בהתאמה. יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של $G \times G$.

אם $G$ סופית ו $k$ סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים איזומורפיזם:

$k[G] \cong \bigoplus_{\pi \in irr(G)} End(\pi) \cong \bigoplus_{\pi \in irr(G)} \pi \otimes \pi^*$,

כאשר $irr(G)$ היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של $G$. האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של $G \times G$.

חבורות אינסופיות

בעוד בחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה שבו החבורה $\ G$ אינסופית חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר. בפרט ניתן לשאול מתי הוא ראשוני, ומסתבר שזה קורה אם ורק אם חוג הבסיס, $\ R$ ראשוני וגם לחבורה $\ G$ אין תתי חבורות נורמליות סופיות (ששונות ממנה). הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה הטריוויאלית נורמלית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים). אפשר להמשיך ולהעמיק בחקר תורת המבנה של חוגי חבורות אינסופיות (פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; Passman ואחרים מצאו כמה תנאים שתחת הנחתם אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה)‏.

חבורות טופולוגיות

אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה. חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית. לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דרשים מההעתקות להיות רציפות. אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה אליו.

אומנם ניתן להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתיחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית. קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתקח בחשבון את הטופולוגיה. הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעיתי עבור חבורה טופולוגית כללית.

עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה במספר גרסאות שונת. לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים $R$ הוא שדה המרוכבים $\C$

חבורות קומפקטיות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית. במקרה כזה קיימת ויחידה מידת הסתברות $d\mu$ על החבורה האינווריאנטית לגבי כפל באיברי החבורה. מידה זאת נקראת מידת האר. אלגברת החבורה של חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות $\C[G]:=C(G,\C)$ על $G$. כאשר הכפל מוגדר ע"י

$\ (f_1*f_2)(g)=\int_{h\in G} f_1(h)\cdot f_2(h^{-1}g)d\mu$

בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה. עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.

חבורות קומפקטיות מקומית

מקרה נוסף שבו ניתן להגדיר גרסה טופולוגית של אלגברת החבורה, הוא כשהחבורה קומפקטית מקומית. גם במקרה זה ניתן להגדיר את מידת האר, אך במקרה זה היא אינה מידת הסתברות (ערכיה אינם סופיים על קבוצות לא קומפקטיות), והיא יחידה רק עד כדי כפל בסקלר. כמו כן היא אינווריאנטית רק לגבי כפל משמואל ע"י איבר בחבורה (ניתן גם להגדיר מידת האר ימנית שתהיה אינווריאנתית רק לגבי כפל מימין).

לאלגברת החבורה של החבורה קומפקטית מקומית יש 2 גרסאות נפוצות:

• אלגברת הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי $C_c(G,\C)$.
• אלגברת הפונקציות $L^1$ ביחס למידת האר $L^1(G,d\mu)$.

ניתן גם להגדיר את אלגברת החבורה בצורה אינווריאנטית יותר (ללא צורך לבחור מידת האר ספציפית, וללא העדפת המידה השמלית על הימנית) בתור אלגברת המידות על $G$, שאותם ניתן לכתוב כמכפלה של מדת האר (כלשהי) ופונקציה רציפה עם תומך קומפקטי (או פונקציה $L^1$ בגרסה השניה).

חבורות לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

מחלקה חשובה של חבורות קומפקטיות מקומית היא חבורות לי. חבורת לי היא חבורה שנתון עליה מבנה של יריעה חלקה, כך שהעתקת הכפל היא העתקה חלקה.

אם $G$ היא חבורות לי אז בנוסף לגרסאות הקודמות של אלגברת החבורה ניתן להגדיר גרסה נוספת:

• האלגברה $C^\infty_c(G,\C)$ של הפונקציות החלקות על $G$ בעלות תומך קומבקטי.

במקרים מסוימים ניתן גם להגדיר אלגבראות גדולות מעט יותר $S(G)$ המכילות את פונקציות שוורץ על$G$ דהינו פונקציות חלקות על $G$ אשר דועכות באינסוף בקצב מהיר. למושג פונקצית שוורץ יש מספר גרסאות, חלקן מוגדרות על חבורת לי כללית, וחלקן דורשות מבנה נוסף (למשל מבנה של חבורה אלגברית ממשית).

חבורות p-אדיות

פרק זה דורש עריכה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולערוך אותו. הסיבה לכך: ויקיזציה.

בתורת המספרים (ובפרט בתוכנית לנגלנדס) עולה הצורך לדון בסוג נוסף של חבורות קומפקטיות מקומית – חבורות p-אדיות. ברוב המקרים מדובר על תת-חבורות סגורות של חבורת המטריצות ההפיכות $\ GL_n \left(\Q_p\right)$ מעל שדה המספרים ה-p-אדיים. באופן כללי מעט יותר, נגדיר חבורת l בתור חבורה טופולוגית (האוסדורפית) קומפקטית מקומית שבה לאיבר הניטרלי בסיס מקומי המורכב מתתי חבורות קומפקטיות פתוחות. נאמר שחבורה היא בת מנייה באינסוף אם יש לה כיסוי בן מנייה של קבוצות קומפקטיות. לחבורות אלה יש מידת האר מכיוון שהן קומפקטיות מקומית.

במקרה זה גרסא מוצלחת של חוג החבורה היא חוג הפונקציות של שוורץ על $\ G$ ונסמנו $\ S(G)$. זהו חוג הפונקציות מן החבורה לשדה המספרים המרוכבים שהן:

1. קבועות מקומית (כלומר, לכל נקודה יש סביבה שתמונת הפונקציה עליה קבועה)
2. בעלות תומך קומפקטי (בת"ק) כלומר, קבוצת האברים בחבורה שהפונקציה איננה מאפסת הם קבוצה קומפקטית).

שוב אל מנת להגדיר את פעולת הכפל (קונבולוציה) יש לבחור מידת האר. גם כאן ניתן להמנע מזה ע"י הגדרה של מחלקה מתאימה של מידות – מדות שוורץ. לשם כך יש להתבונן במרחב הדואלי, מרחב התפלגויות. כלומר, במרחב $\ S^*(G)$ שהוא מרחב הפונקציונלים הלינאריים על $\ S(G)$. מרחב זה מכיל את החוג של התפלגויות בעלות תומך קומפקטי, התומך של התפלגות הוא קבוצת האברים בחבורה שהצמצום של ההתפלגות לכל סביבה שלהן איננו התפלגות האפס. את חוג ההתפלגויות בעלות התומך הקומפקטי נסמן $\ S^*_c(G)$. לחוג זה תת-חוג $\ H(G)$ של ההתפלגויות בעלות תומך קומפקטי וקבועות מקומית (נקבעות על ידי תת חבורה פתוחה). באמצעות כפל במידת האר ניתן להגדיר איזומורפיזם

$S(G) \cong H(G)$

בדומה למקרה הסופי, לחוג החבוה של חבורת l יש קשר הדוק להצגות של החבורה. נגדיר הצגה חלקה‏ (מרוכבת; של חבורת l בת מנייה באינסוף) כהומומורפיזם מן החבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי (לאו דווקא מממד סופי) מעל שדה המספרים המרוכבים כך שהמייצב של כל וקטור במרחב הוא תת חבורה פתוחה (ניתן לפרש כרגיל את המרחב הווקטורי כמודול מעל החבורה). במקרה זה תקפה הגרסה הבאה של הלמה של שור: נניח כי $\ \pi$ הצגה חלקה של חבורת l בת מנייה באינסוף, ונניח שהיא אי פריקה (כלומר אין תת מרחב אינווריאנטי אמיתי), אזי $\ Hom_G \left(\pi,\pi\right)$ מכילה אופרטורים סקלריים בלבד.

כעת ניתן לנסח אנלוגיה למקרה של חבורות סופיות: קטגוריית ההצגות החלקות של $\ G$ שקולה באופן טבעי לקטגוריית המודולים מעל $\ H(G)$.

קישורים חיצוניים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

• Bernshtein, Zelevinskii, Representations of the group $GL_n \left(F\right)$ where $F$ is a non-archimedian local field