חבורת מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

‏‏

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באלגברה, חבורת מנה היא חבורה המתקבלת מ"קיפול" האיברים של חבורה נתונה, בהתאמה לתת חבורה נורמלית. הבניה של חבורות מנה היא מן הבניות היסודיות ביותר בתורת החבורות (ובאלגברה בכלל), וחבורות המנה מופיעות באופן טבעי בכל מקום שבו מוגדר הומומורפיזם מחבורה לחבורה אחרת, או כאשר חבורה פועלת על מרחב.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ G חבורה ותהא \ N\triangleleft G תת חבורה נורמלית שלה. הנורמליות פירושה שלכל איבר a בחבורה, המחלקות \ Na = \{n a : n \in N\},\, aN = \{an : n \in N\} שוות זו לזו. נתבונן באוסף המחלקות \ G/N = \{ aN : a \isin G \}.

כפל הקבוצות \ aN \cdot bN = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = abN מראה שהפעולה \ aN*bN = abN מחזירה איבר של G/N, ואינה תלויה בנציגים. פעולה זו הופכת את \ G/N לחבורה, הנקראת "חבורת המנה של \ G ביחס ל-\ N ". האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה \ eN=N .

הוכחה ש-G/N חבורה ביחס לכפל מחלקות:

  1. הפעולה אסוציאטיבית משום שלכל  aN,bN,cN \in G/N מתקיים \ aN\cdot (bN\cdot cN) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (aN\cdot bN)\cdot cN לפי אסוציאטיביות הכפל ב-G.
  2. המחלקה N=1N היא איבר יחידה של הפעולה, משום שלכל  aN \in G/N מתקיים \ N \cdot aN = (1a)N = aN ו- \ aN \cdot 1N = (a1)N = aN.
  3. לכל  aN \in G/N יש איבר הופכי, \ a^{-1}N (שהרי \ aN\cdot a^{-1}N=(aa^{-1})N=N).

חבורת המנה איננה תת חבורה של \ G . איבריה הם תת-קבוצות של \ G , ולא איברים של \ G .

הסדר[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסדר של חבורת המנה G/N הוא האינדקס של N בתוך G, שאותו מסמנים ב-\ [G:N], ומתקיים \ |G|=[G:N]\cdot |N|. כאשר G,N סופיות, האינדקס שווה ל- \ \frac{|G|}{|N|} - מנת הסדרים של G,N. העובדה שסדר זה חייב להיות שלם מוכיחה, למעשה, את משפט לגראנז'.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. \ G/G \cong \{1\}, ואילו \ G/\{1\} \cong G.

2. נביט ב\ \left(\mathbb{Z},+\right) , חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, ובתת החבורה שלה \ \left(2\mathbb{Z},+\right) , חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור. זוהי תת-חבורה נורמלית שכן \ \mathbb{Z} חילופית ולכן כל תת-חבורה שלה נורמלית. ל\ 2\mathbb{Z} שתי מחלקות: \ \left\{2n|n\isin\mathbb{Z}\right\} ו\ \left\{2n+1|n\isin\mathbb{Z}\right\} . לכן, \ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_2 , כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).

ובאופן כללי: \ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_q , כאשר \ q\mathbb{Z} היא תת-החבורה של \ \mathbb{Z} הכוללת את האברים המתחלקים ב-q.

3. מסמנים ב- \mathbf{GL}_n(F) את חבורת המטריצות ההפיכות מסדר  \ n מעל השדה  \ F , וב- \mathbf{SL}_n(F) את חבורת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן שווה ל1. השנייה היא תת-חבורה נורמלית בראשונה, וחבורת המנה איזומורפית לחבורה הכפלית של השדה.

קבוצת המנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

את אוסף המחלקות השמאליות \ G/H אפשר לבחון לכל תת-חבורה H, גם אם היא אינה נורמלית ב-G. חשיבותה העיקרית של קבוצה מסוג זה היא בכך שהחבורה פועלת עליה פעולה טרנזיטיבית, \ g : xH \rightarrow gxH, כאשר המייצב של הנקודה H הוא החבורה H עצמה. מתברר שכל קבוצה שעליה פועלת G באופן טרנזיטיבי איזומורפית לקבוצת מנה מן הטיפוס הזה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]