אבולוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אוולוט)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אבולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּטאנגלית: Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות[1] שלה.

נוסחת האבולוט היא:

כאשר

  • k היא העקמומיות של העקומה (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך , או בנוסחה מפורשת )
  • הוא רדיוס העקמומיות
  • הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

.

במקום זה, המתקבל עבור , הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.[דרושה הבהרה]

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: ) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מרכז העקמומיות לנקודה s הוא הנקודה בה נמצא מרכז המעגל הנושק לעקומה ב-