אוריינטציה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development.svg ערך זה נמצא בתהליך עבודה מתמשך. הערך פתוח לעריכה.
אתם מוזמנים לבצע עריכה לשונית, ויקיזציה וסגנון לפסקאות שנכתבו, וכמו כן לעזור להרחיב ולהשלים את הערך.
טורוס - יריעה אוריינטבילית. לטורוס שני צדדים - הפנימי (אינו נראה לצופה) והחיצוני (נראה לצופה), ובהתאם שתי אוריינטציות
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעתים) להגדיר על אובייקט גאומטרי (בדרך כלל יריעה). לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית. על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב o אז את השנייה מסמנים ב -o. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).

המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב לינארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית.

אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה. באופן פורמלי, על יריעה חלקה n ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות (Differential form) הפיכות‏[1] ממעלה n תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

על יריעה טופולוגית n-ממדית קשירה X וסגורה (Closed manifold) בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה‏[2] H_{n}(X;\mathbb{Z}). יוצר זה נקרא המחלקה היסודית (Fundamental class) של היריעה. על יריעה טופולוגית n-ממדית X כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית H_{n}(X,X-\{x\};\mathbb{Z}) עבור כל x \in X.

בנייות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה. למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה (Degree of a continuous mapping) בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך[3] של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה (Poincaré duality), וקובורדיזם (Cobordism). כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה. למשל, אוריינטביליות וכיסוי האוריינטציות.

בנייות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי[4] וכדומה. בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.

תוכן עניינים

מבוא אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.

אוריינטציה על עקום[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי האוריינטציות על המעגל

בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות. מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם n רכיבי קשירות הוא 2^n. עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.

אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.

אוריינטציה על משטח במרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחירת שדה נורמלי[5] למשטח או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח

אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב, בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי[5] למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על (Hypersurface), זאת אומרת ליריעות k ממדיות ב\mathbb{R}^{k+1}.

בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.

אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כלל יד ימין. לכלל זה יש משמעות רק במרחב עליו נקבעה אוריינטציה

כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת-ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל \mathbb{R}^3 או המרחב הפיזי הסובב אותנו. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.

על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב‏[6]. אולם בסיסים שונים עלולום לתת תוצאות מנוגדות. ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות‏[7]. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים ארתונורמלים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים ארתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים‏[8].

העתקות שומרות אוריינטציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא, לכתוב על פיסת בד מילה. אם אחרי הפעלת ההעתקה הכתב הופך לכתב ראי אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. אם הוא נשאר כתב "רגיל" (עשוי להיות מסובב או מעוות) ההעתקה שומרת אוריינטציה.

ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה‏[9]. נתרכז תחילה במקרה הדו-ממדי. כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.

דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.

באופן כללי העתקה לינארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.

אוריינטציה וטריאנגולציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – טריאנגולציה (גאומטריה)
טריאנגולציה של משטחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוריינטציה מתאימה על שני משולשים. הסדר הציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש הראשון הוא ABC ועל השני הוא CBD. על הצלע BC אנו מקבלים שני סדרים מנוגדים

טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.

אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשין, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.

שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).

לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו למשל טבעת מביוס או בקבוק קליין.

דוגמאות של אוריינטציה באמצעות טריאנגולציות
ניסיון כושל להגדיר אוריינטציה על טבעת מביוס. על המשולש האדום לא ניתן להגדיר אוריינטציה מתאימה לשני שכניו בו זמנית.
אוריינטציה על הספירה
אוריינטציה על הטורוס
המקרה הרב ממדי[עריכת קוד מקור | עריכה]

גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מיגבלות:

  • טריאנגולציה של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה לסימפלקסים במקום למשלשים
  • אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם התמורה המעבירה ביניהם היא תמורה זוגית.
  • יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים.
  • החל מממד 4 יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה, והחל מממד 5 יש גם יריעות חלקות כאלה. מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה.

אוריינטציה על מרחב לינארי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה (אלגברה לינארית)

יהיה V מרחב לינארי ממשי n ממדי.

הגדרה באמצעות בסיסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על V כך:

הגדרה: אוריינטציה על V היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב לינארי (לא טריוויאלי[10]) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב לינארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

אוריינטציה סטנדרטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מרחבים לינאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב \mathbb{R}^n האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:

 \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\dots, \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ \vdots\ \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\rangle.

נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה \langle v,w,v \times w\rangle נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה‏[11].

הגדרה באמצעות תבניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על V גם באמצעות n-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה

\omega:\underset{n \text{ copies }}{\underbrace{V\times\dots\times V}} \to \mathbb R

המקיימת:

  • \omega לינארית על פי כל אחד מהמשתנים ב V
  • \omega אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב V.

מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר

הגדרה: אוריינטציה על V היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקיליות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס

B=\langle e_1,\dots, e_n\rangle

ב V אפשר להתאים תבניות \omega_B באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת

\omega_B(e_1,\dots,e_n)=1.

הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

אוריינטציה על נקודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש n=0. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת ב + או ב 1 ונקראת חיובית והשנייה ב - או ב 1- ונקראת שלילית.

משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \pi:V \to W איזומורפיזם של מרחבים לינאריים. כל תבנית \omega על W מגדירה תבנית \pi^*(\omega) על V באופן הבא:

\pi^*(\omega)(v_1,\dots, v_n)=\omega(\pi(v_1),\dots,\pi(v_n)).

בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה \pi^*(o) עבור כל אוריינטציה o על W תהליך זה נקרא משיכה לאחור (Pullback) של אוריינטציה.

ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה (Pushforward) של אוריינטציה על ידי

\pi_*(o):=(\pi^{-1})^*(o).

אוריינטציה על יריעה חלקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי M יריעה חלקה מממד n.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוריינטציה o על M היא התאמה של אוריינטציה o_x על המרחב המשיק לכל נקודה x \in X "התלויה באופן רציף" בנקודה x.

הגדרה באמצעות תבניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות (Differential form). תבנית דיפרנציאלית ממעלה n (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של n-תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק T_xM עבור כל x \in M. תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה. כעת ניתן להגדיר

הגדרה: M נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה‏[12]. אוריינטציה על M היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקיליות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (Parallelizable manifold) (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה x\in M שלהן בסיס למרחב המשיק T_x(M) בצורה שתלויה באופן חלק ב x)‏[13].

הגדרה באמצעות אטלסים ומפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על M היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.

הגדרה: תהיינה U,V \subset \R^n קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם \phi:U\to V נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק[14] על M נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר‏[15] שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על M היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.

ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות‏[16].

אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

האוריינטציה הסטנדרטית על העיגול משרה, בעזרת הנורמל החיצוני, אוריינטציה על המעגל. הזוג המורכב מהנורמל החיצוני בנקודה על המעגל ומוקטור משיק בכיוון האוריינטציה על המעגל מהווה בסיס חיובי במישור
נורמל למשטח מגדיר אוריינטציה על המשטח, אותה ניתן להמחיש על ידי כיוון סיבוב על המשטח. אוריינטציה על המשטח מגדירה אוריינטציה על השפה שלו.

נקבע אוריינטציה o על .M יהי N \subset M משטח-על (Hypersurface) ב-M (זאת אומרת תת-יריעה (Submanifold) n-1 ממדית).

שדה טרנסברסלי (transverse) \xi על N \subset M הוא התאמה של ווקטור משיק \xi_x\in T_xM ל M בכל נקודה x \in N כך ש

\xi_x\notin T_xN.

בהינתן שדה טרנסברסלי \xi על N , האוריינטציה o משרה אוריינטציה o_N על N באופן הבא: תהי \omega תבנית המייצגת את o. נגדיר תבנית \eta על N על ידי

\eta_x(v_1,\dots, v_{n-1}):=\omega_x(\xi_x,v_1,\dots, v_{n-1}).

נגדיר את o_N להיות מחלקת השקילות של .\eta

במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי (Normal bundle) .Norm_N^M:=(T_M)|_N/T_N במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה Norm_{N,x}^M:=T_x M/T_xN לכל נקודה .x\in N[17]

שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית. במקרה שעל M נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה o, אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על N ושדות נורמלים באורך יחידה על N. כיוון שעל \R^n יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח N ב \R^n שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על ,N בדומה למוסבר במבוא.

יריעה עם שפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם M היא יריעה עם שפה (Manifold with boundary) אז השפה \part M של M היא היפר-משטח ב .M ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על .\part M זאת אומרת שדה טרנסברסלי על \part M אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק[18] ל M באף נקודה .x \in \part M האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על .\part M קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.

הערה: למרות שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על \R^n, העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת משפט ז'ורדן (Jordan curve theorem) ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:

טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב לינארי) תמיד אוריינטבילי.

משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה חלקה \phi:M \to N נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל (Étale morphism)) אם הדיפרנציאל d_x \phi שלה בכל x\in M הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל x\in M קיימת סביבה פתוחה U \subset M כך ש \phi(U) היא קבוצה פתוחה והצמצום (Restriction) \phi|_U:U \to \phi(U) הוא דיפאומורפיזם.

בהינתן אוריינטציה o על N ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה \phi^*(o) על ידי .\phi^*(o)_x=(d\phi)^*(o_{\phi(x)}) במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית \omega המייצגת את o, ולהגדיר את \phi^*(o) להיות מחלקת השקילות של .\phi^*(\omega) העתקת אטאל \phi:M \to N בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על N שווה לאוריינטציה .M

אוריינטציה ואינטגרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה .M

נקבע אוריינטציה על .M

תהי U \subset M קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל .\R^n ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית \omega על U באופן הבא:

\int_U \omega=\int_{\R^n} \phi^{*}(\omega).

כאן \phi:\R^n \to U הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על \R^n מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות‏[19].

הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם \phi ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו \phi היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת. ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית U \subset M על ידי חלוקת היחידה. כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.

אם \omega תבנית הפיכה על ,M אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על .M אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב

\int_M|\omega|.

ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש M לא אוריינטבילית) ע"י:

\int_M|\omega|:=\int_U|\omega|,

כאשר

U:=\{x\in M|\omega_x\neq 0\}

כיסוי האוריינטציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות

כיסוי האוריינטציות של משטח M במרחב: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה המרחב המכסה \operatorname{orient}_M. העתקת הכיסוי \,p:\operatorname{orient}_M\to M היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה. במקרה ש M היא טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית

תהי M יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה x \in M של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק T_x M (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x ב \operatorname{orient}_M(x) (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי \operatorname{orient}_M. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.

אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי ההאוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר של החבורה היסודית \pi_1(M) (הנקרא קרקטר האוריינטציות). אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להיתיחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אוריינטציה על אגד, אוריינטציה יחסית

יהי E אגד וקטורי n-ממדי מעל מרחב טופולוגי .X

אוריינטציה על E היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) E|_x של E התלויה באופן רציף בנקודה x שמעליה הסיב.

בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה \phi:M\to N בשני מקרים:

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:

orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}

כל אלה יהיו אובייקטים מעל .M

אוריינטציה על יריעה טופולוגית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי M יריעה טופולוגית n-ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על M נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות p:Orient_M \to M. כמו במקרה החלק, אוריינטציה על M תהיה חתך (Section) של כיסוי האוריינטציות.

כיסוי האוריינטציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות

כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.

הגדרה אוריינטציה בנקודה x\in M[20] היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית .H_n(M,M-\{x\};\Z) נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x ב orient_M(x)

נשים לב שמכיוון ש .H_n(M,M-\{x\};\Z) איזומורפית ל \Z, הקבוצה orient_M(x) בת שני איברים.

נגדיר

orient_M:=\bigcup_{x\in M} orient_M(x),

כאשר הטופולוגיה עלorient_M מוגדרת, דרך המקרה M=\R^n על ידי הזיהוי

orient_{\R^n}\cong \R^n \times\{1,-1\}.

קל לראות שאם M יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.

כמו קודם ניתן להגדיר את האגד Orient_M ואת האלומה \mathcal Orient_M אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים \Omega^{top}_M או .D_M שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

המחלקה היסודית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – המחלקה היסודית

נניח כי M יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי o אוריינטציה על .M ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה o_x \in H_n(M,M-\{x\};\Z) מחלקה אחת ב.H_n(M;\Z)

משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה [M]:=[M,o] \in H_n(M;\Z) כך ש

\forall x\in M: \phi_x([M])=o_x

כאשר \phi_x:H_n(M;\Z)\to H_n(M,M-\{x\};\Z) היא ההעתקה הטבעית, וo_x\in H_n(M,M-\{x\};\Z) היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה .o

מחלקת הומולוגיה [M] נקראת המחלקה היסודית (Fundamental class). באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".

אם M קשירה אז [M] יוצרת את חבורת ההומולוגיה H_n(M;\Z) אשר איזומורפית ל .\Z במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של H_n(M;\Z)). אם M לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז H_n(M;\Z)=0).

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]
  • עבור יריעות קומפקטיות עם שפה ניתן להגדיר את המחלקה היסודית בתור איבר בהומולוגיה היחסית H_n(M,\part M;\Z)
  • עבור יריעות לא קומפקטיות (בלי-שפה) המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגית בורל-מור (Borel–Moore homology) (המושג הדואלי לקוהומולוגיה עם תומך קומפקטי (Cohomology with compact support))
  • עבור יריעות (סגורות) לא אוריינטביליות (או עבור יריעות עליהן לא נקבעה אוריינטציה), המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגיה H_n(M;\Z/2\Z) או בהומולוגית בהומולוגיה H_n(M;\mathcal Orient_M) של M עם מקדמים באלומת האוריינטציות \mathcal Orient_M.
  • ניתן גם להגדיר את ההכללה המשותפת של ההכללות הקודמות

אוריינטציה יחסית (המקרה הכללי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה יחסית

תהי \phi:X \to Y העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים orient_{X/Y}, Orient_{X/Y},\mathcal Orient_{X/Y}) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:

האנלוג של אימרסיה: לכל x\in X קיימת סביבה פתוחה U \subset M ומספר טבעי k כך ש \phi(U) היא תת-קבוצה סגורה מקומית (Locally closed subset) והצמצום \phi|_U:U \to Y ניתן לפירוק h\circ i כאשר i:U\to U \times \R^{k} הוא השיכון הסטנדרטי וh: U \times \R^{k} \to Y הוא הומיאומורפיזם לתמונה.
האנלוג של סובמרסיה: לכל x\in X קיימת סביבה פתוחה U \subset X ומספר טבעי k כך ש \phi(U) היא קבוצה פתוחה והצמצום \phi|_U:U \to \phi(U) ניתן לפירוק p\circ h כאשר h:U\to \phi(U) \times \R^{k} הוא הומיאומורפיזם ו p: \phi(U) \times \R^{k} \to \phi(U) הוא ההטלה.

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים X,Y אינם יריעות.

הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

אוריינטביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אוריינטבילית

יריעה נקראת אוריינטבילית (Orientability) אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל \R^n ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סיכום[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).

יריעות אוריינטביליות יריעות לא אוריינטביליות
  • יריעה אליה מועתקת יריעה לא אוריינטבילית על ידי הומאומורפיזם מקומי
    • יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית
      • סכום קשיר של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
        • משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים
  • מכפלה של יריעות אוריינטביליות
  • מכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי

שימושים במתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ספירת נקודות מכוונת[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאורינטציה תפקיד בבניות רובות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באורינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה. יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אורינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אורינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.

ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנמלד (בדרך כלל בניה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב \Z אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב\Z/2\Z, מה שהופך אותו לחלש יותר.

להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.

מעלה של העתקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \phi:M \to N העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד n . לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי y \in N. הסיב \phi^{-1}(y) של הנקודה y הוא יריעה מממד אפס. המעלה של \phi מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה \phi^{-1}(y).

אינדקס חיתוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי M יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד n ויהיו N,L \subset M תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי

\dim N +\dim L = \dim M

במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של N ו L. לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות N,L כך שהחיתוך N \cap L יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך N \cap L הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על M,N ו L מגדירות אוריינטציה על N \cap L. אינדקס החיתוך של N ו L מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה N \cap L.

תורת מורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה (M,f,\gamma)מצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה M פונקציית מורס f ומטריקה רימנית \gamma, קומפלקס שרשרת (C_i,d). החבורות האבליות C_i הן החבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של f מאינדקס מורס i. ה דיפרנציאל d מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.

להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר M אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים \Z בחבורה \Z/2\Z. לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אורינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב \Z/2\Z. הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.

קובורדיזם[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות n ממדיות M,N שקולות אם האיחוד הזר M \cup N הוא שפה של יריעה n+1 ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה \Z/2\Z.

באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות n ממדיות (M,o),(N,p) שקולות אם האיחוד הזר (M \cup N,o\cup -p) הוא שפה של יריעה n+1 ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה \Z.

באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב לינארי מעל השדה הסופי \mathbb F_2) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעתים חסרת פיתול כלל.

מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.

את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקיבורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב \Z, אם לא, אז הערכים ב \Z/2\Z.

דואליות פואנקרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל (Cup product) ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי M יריעה סגורה מכוונת מממד n. דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה H^k(M,F) והקו-הומולוגיה H^{n-k}(M,F) כאשר F שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי

\langle a,b\rangle:= \langle a \smile b,[M]\rangle

כאשר \smile היא מכפלת הספל, a\in H^i(M,F),b\in H^{n-i}(M,F) והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.

זיווג זה מגדיר איזומורפיזם H_k(M,F) \cong H^{n-k}(M,F). בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים. לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה.

הכללות, גרסאות ואנלוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוריינטציה בתורת הגרפים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – גרף מכוון, קבוצה סימפלקסיאלית

ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי. למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל קשת. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.

באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו למשל קומפלקס סימפלקסיאלי. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו למשל קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.

אוריינטציה בתורת ההומולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הומולוגיה של מרחב טופולוגי

יהי X מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה \alpha \in H_i(X,\Z) בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד i בתוך X (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה.

אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב X אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב \Z/2\Z.

בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטרים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של X.

גם בתורות קו-הומולוגיה האוריינטציה באה לידי ביטוי. למשל קו-הומולוגית דה-ראהם מבוססת על מושג התבניות הדפרנציאליות. מושג זה קשור למושג האוריינטציה על יריעה חלקה.

דואליות ורדיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרוטנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פנקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפנקטורים האלה הוא \pi^!:D(Y) \to D(X) המוגדר עבור העתקה רציפה \pi:X \to Y כאשר D(X) היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על X. פנקטור זה הוא הצמוד מימין של הפנקטור הניגזר של פנקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי \pi_!:D(X)\to D(Y) .

באמצעות הפנקטור \pi^! ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי \mathcal D_{X/Y}:=\pi^!(\Z_X) כאשר \Z_X היא האלומה הקבועה על X. כאשר Y הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל \mathcal D_{X}:=\mathcal D_{X/pt}. אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים‏[21] של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פנקטור הדואליות של ורדיה \mathbb D:D(X) \to D(X) על ידי \mathbb D:=RHom(\cdot, D_X). מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה:

.\mathbb D \circ \pi_* \cong\pi_! \circ \mathbb D

אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג האוריינטציה על מרחב לינארי מבוסס על כך שלחבורה GL_n(\R) יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב לינארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בGL_n(\R), הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצת ברכיב השני.

המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורטוגונלית O_n יש גם כן שני רכיבי קשירות. אולם אם אנו מאפשרים למכפלה הפנימית לא ליהית מוגדרת חיובית אז אנו יכולים לעדן את מושג האוריאנטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה O_{p,q} יש ארבעה רכיבי קשירות.

בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה (p,q) על מרחב V וקרקטר \chi:O_{p,q} \to \{+1,-1\} ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורטונורמליים‏[22] באופן הבא: שני בסיסים B_1 וB_2 שקולים אם \chi(M_{B_1}^{B_2})=1. מכיוון של O_{p,q} יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטצית מרחב ואוריינטצית זמן.

באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.

אוריינטציה בגאומטריה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – גאומטריה אלגברית ממשית, יריעת נאש

מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה GL_n(\R) הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי. מעל \R המצב שונה. על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.

בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות). גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות l-אדיות ואלומות סוטות l-אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.

אוריינטציה בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – פסאודו וקטור, סימטריה בפיזיקה

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה

מושגים קשורים

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, 1974
  • Michael Spivak, Calculus on Manifolds HarperCollins, 1965
  • Marvin J. Greenberg, John R. Harper, Algebraic topology: a first course Benjamin/Cummings Pub. Co., 1981
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ זאת אומרת, תבניות שאינן מתאפסות באף נקודה.
  2. ^ אם חבורה זו טריוויאלית אז היריעה איננה אוריינטבילית
  3. ^ אינדקס חיתוך, באתר Encyclopedia of Mathematics (באנגלית).
  4. ^ נגד כיוון השעון
  5. ^ 5.0 5.1 שדה וקטורי נורמלי למשטח הוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת.
  6. ^ בחירת בסיס מזהה את המרחב עם \mathbb{R}^3 שבו המכפלה הווקטורית מגדרת.
  7. ^ מטריצת המעבר בין שני בסיסים ארתונורמלים היא אורתוגונלית, ולכן הדטרמיננטה שלה היא ±1
  8. ^ אם להחליף את המספר 1 במספר חיובי כלשהו היא תהייה תקפה למרחבים לינאריים
  9. ^ באופן דומה מושג היריעה החלקה מבוסס על המושג (הפשוט יותר) של העתקה חלקה מ \mathbb{R}^{n} לעצמו.
  10. ^ המקרה הטריוויאלי נדון בהמשך
  11. ^ למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא מרחבים אפיניים (Affine space). זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.
  12. ^ לעתים מכנים תבנית דיפרנציאליות הפיכות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעתים הוא מתייחס לאגד הצפיפויות
  13. ^ הסיבה לכך היא שלהבדיל ממחלקת שקילות של תבניות, מחלקת שקילות של בסיסים אינה קמורה, (ואף אינה כוויצה)
  14. ^ אטלס חלק על יריעה חלקה הוא אוסף של דיפאומורפיזמים \phi_\alpha:U_\alpha \to \R^n מתתי-קבוצות פתוחות של M
  15. ^ \varphi_{\alpha\beta} = \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}|_{\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} \colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta).
  16. ^ כאן אנו משתמשים בכך שמחלקת שקילות של תבניות קמורה.
  17. ^ השם נורמלי עלול להטעות, מכיוון שהמרחב הנורמלי Norm_{N,x}^M אינו תת-מרחב במרחב המשיק T_xM ולכן לא יכול להיות מאונך ל-T_xN. אבל בהינתן מטריקה רימנית על M ניתן לזהות את המרחב הנורמלי עם האנך ל-T_xN בתוך .T_xM
  18. ^ חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה M בנקודה x על השפה, הוא חצי-מרחב בתוך המרחב המשיק T_xM המכיל את הכיוונים המפנים לתוך M
  19. ^ כל תבנית דיפרנציאלית על \R^n אפשר לרשום בתור מכפלה של פונקציה והתבנית הסטנדרטית (התבנית היחידה המקיימת ,\omega(e_1,\dots , e_n)=1 כאשר \langle e_1,\dots , e_n \rangle הוא הבסיס הסטנדרטי)
  20. ^ הגדרה זאת מניחה ש M היא יריעה בלי שפה (או לפחות ש x לא נמצאת על השפה של M). לצורך הגדרת מושג האוריינטציה ניתן להתעלם מהשפה.
  21. ^ אם X הוא יריעה אז הקומפלקס המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת בממד היריעה
  22. ^ ז"א בסיסים שבהם מטריצת התבנית הריבועית היא סטנדרטית