חבורת אוטומורפיזמים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורת אוטומורפיזמים של חבורה G היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות , המקיימות את התנאי אקסיומה זו נובע גם ש- , כאשר 1 הוא איבר היחידה של G).

אם G היא חבורה, כל פעולת הצמדה, מהצורה , היא אוטומורפיזם, הנקרא אוטומורפיזם פנימי. אוסף האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של , שאותה מסמנים בסימון . הפונקציה המעתיקה את האיבר g לאוטומורפיזם ההצמדה היא הומומורפיזם, שהתמונה שלו היא כמובן , והגרעין שלו הוא המרכז של G. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, .

אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני". תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של G. לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אבל כאשר המרכז קטן (ובפרט, כאשר הוא טריוויאלי), לא פשוט לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ובדרך כלל חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים קטנה ביחס לחבורה. חבורה בת מרכז טריוויאלי ונטולת אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חבורת האוטומורפיזם של חבורת השלמים החיבורית היא כאשר הוא אוטומורפיזם הזהות ו- הוא האוטומורפיזם השולח כל ל-. מאחר שזו חבורה אבלית, היא חבורה טריוויאלית.
  • חבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר n, , היא חבורת אוילר מסדר n, .
  • אם p ראשוני, חבורת האוטומורפיזמים של המכפלה הישרה היא חבורת המטריצות .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]