בעיית שטיינר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
Mplwp Steiners problem.svg

בעיית שטיינר היא בעיה שהציג הגאומטרן השווייצרי יאקוב שטיינר ב-1850, בירחון המדעי של אוגוסט לאופולד קרל (August Leopold Crelle). הבעיה בניסוחו של שטיינר (בתרגום מגרמנית לעברית):

"אם מחלקים מספר נתון כלשהו לשני חלקים, ידוע שמכפלתם תהיה הגדולה ביותר אם החלקים יהיו שווי גודל. עקרון זה נשמר כאשר מחלקים מספר כלשהו a ל-3, 4, 5, … n חלקים. כיוון שהמכפלות המתקבלות במקרים השונים האלה הן שונות בגודלן, נשאלת איפוא השאלה, לכמה חלקים שווי גודל, או באופן כללי לכמה חלקים בכלל יש לחלק מספר כלשהו a, כך שמכפלתם של החלקים תהיה הגדולה ביותר מכל המכפלות, דהיינו מקסימום של כל המקסימומים?"

שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה , כאשר הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי אי שוויון הממוצעים, הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה, ואם קובעים שערכו של כל חלק הוא m, אז מספר החלקים הוא 1m, וערך המכפלה הוא . מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך שהמספר יהיה מקסימלי. שטיינר מציין כי "קל למצוא" שהמקסימום מתקבל כאשר m שווה לבסיס הלוגריתם הטבעי (ואכן, זהו תרגיל בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי).

במכתבו לירחון הוסיף שטיינר שלכל מספר קיים בן-זוג יחיד , שעבורו (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: ).

פרסום הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלק מפרסום הבעיה בא לה בעקבות הכללתה בתוך ספרו של היינריך דרי (Heinrich Dörrie),‏ 100 Great Problems of Elementary Mathematics‏ (100 בעיות גדולות במתמטיקה יסודית), אלא ששם מופיעה הבעיה בצורה מופשטת יותר, דהיינו:
מהו ערך שמביא את הפונקציה

לערכה המרבי?
והתשובה, כאמור לעיל, היא קבוע אוילר, ℮.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Jacob Steiner, Works, Vol. 2, p. 423.
  • Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, 1965, problem 89. (באנגלית)

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעיית שטיינר, באתר MathWorld (באנגלית)

  • Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" (PDF), Crelle, 40: 208 (בגרמנית)
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.