פונקציה דיפרנציאבילית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף דיפרנציאביליות)

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב ליניארי (דיפרנציאל). פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד היא פונקציה גזירה.

בפונקציות של כמה משתנים יכולה להיות נגזרת (וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא פונקציה ב- משתנים. הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה אם אפשר לכתוב , כאשר קבועים, ו- פונקציות השואפות לאפס כאשר שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה ליניארית ב- משתנים, כשהמקדמים הם . זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות ) קטנות מאוד יחסית לחלק הליניארי של הפונקציה.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים בקירוב הליניארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: .

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]