דרגה של אלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, הדרגה של אלגברה מממד סופי היא המעלה של פולינום מינימלי גנרי של לאלגברה. הדרגה חסומה על ידי מימד האלגברה, ושווה לה במקרים מסוימים; למשל, הדרגה של הרחבת שדות ספרבילית שווה לממד. עם זאת, הדרגה יכולה להיות קטנה מהממד: הדרגה של אלגברת המטריצות היא . לכן הדרגה חסומה על ידי מימד ההצגה הלינארית הקטנה ביותר של האלגברה. הדרגה אינה משתנה תחת הרחבת סקלרים.

הפולינום הגנרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי A אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה F. נבחר בסיס , ונתבונן באיבר של האלגברה המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות . במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. הדרגה שווה למעלה של P.

לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות היא m; וזו גם הדרגה של כל אלגברה פשוטה מממד מעל למרכז שלה. אם הן אלגברות מעל אותו שדה, אז דרגת הסכום הישר שלהן היא הדרגה הגדולה מבין השתיים.

אלגברות (אפילו שאינן אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות אלגברות ריבועיות.