חוקי התנועה של ניוטון

From ויקיפדיה
Jump to navigation Jump to search

חוקי התנועה של ניוטון הם שלושה חוקי פיזיקה שניסח אייזק ניוטון, ועוסקים בתנועתם של גופים. אלה הם חוקי היסוד של המכניקה הקלאסית.

ניוטון פרסם חוקים אלה לראשונה בספרו "העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע" (1687), והוכיח באמצעותם תוצאות רבות העוסקות בגופים אידיאליים, תוך שימוש בחשבון האינפיניטסימלי שפיתח לצורך כך. באמצעות חוקי התנועה שלו וחוק המשיכה האוניברסלי נתן ניוטון הסבר לחוקי קפלר על תנועתם של כוכבי לכת.

בשנת 1905 הראה אלברט איינשטיין, במסגרת תורת היחסות, שחוקי התנועה של ניוטון נכונים רק בקירוב, התקף עבור תנועה במהירות נמוכה, והציע חוקים חדשים, התקפים לכל מהירות.

החוק הראשון של ניוטון[edit source | edit]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – התמד

החוק הראשון קובע שכל גוף יתמיד במצבו, כל עוד אין כוחות חיצוניים שפועלים עליו. כלומר בהיעדר כוחות חיצוניים, גוף השרוי במנוחה ישאר במנוחה, וגוף נע יתמיד בתנועתו במהירות קבועה בקו ישר.[1]

או בניסוח מתמטי: כל עוד .

הניסוח המקורי של ניוטון היה: "כל גוף ממשיך במצב מנוחתו או בתנועה קצובה בקו ישר, אלא אם כן יאלץ לשנות מצב זה על ידי כוחות הכפויים עליו." (פ.ו. סירס ומ.ו. זימנסקי (1974) פיסיקה תיכונית, מכניקה. תל אביב: הוצאת יבנה. עמוד 26.)

בחוק זה טמונה הגדרת מערכת הייחוס עליה חלים חוקי ניוטון - מערכת ייחוס אינרציאלית[2]. זאת כיוון שקיימות מערכות אשר בהן החוק השני והשלישי לא יהיו תקפים. מערכת כזאת לדוגמה היא מערכת מואצת, בין אם בתאוצה סיבובית ובין אם בתאוצה קווית. כמו כן טמונה בחוק זה הגדרת מצב שיווי משקל של גוף: הכוחות הפועלים עליו חייבים להיות מנוגדים בכיוונם, שווים בגודלם ובעלי קו מגמה משותף[3].

מערכות לא אינרציאליות[edit source | edit]

במערכות אשר לא מצייתות לחוק הראשון של ניוטון נוהגים לבצע העתקה למערכת אינרציאלית תוך שימוש בהעתקת גלילי. ההעתקה מתבצעת באמצעות הוספת גופים מתמטים תאורטיים המכונים כוחות דלאמבר או כוחות מדומים, המייצגים את השפעות התאוצה כאשר הגופים מנותחים במערכת אינרציאלית. באמצעות הוספת גורמים אלו מתאפשר השימוש בחוקי ניוטון אף במערכות יחוס לא אינרציאליות.

החוק השני של ניוטון[edit source | edit]

החוק השני קובע כי שיעור שינוי בתנע של גוף יתרחש רק בכיוון בו כח פועל עליו וכן הוא יחסי ישר אליו. כאשר ניוטון הגדיר את התנע כמכפלת המסה של הגוף במהירותו.

ומסמנים:


F - הכוח, dp - השינוי בתנע, dt - השינוי בזמן.

הניסוח של ניוטון המקורי היה: "השינוי בתנועה הוא תמיד פרופורציונלי לכח המופעל, ובכיוון הקו הישר שממנו הכוח הופעל". כאשר מסמנים את קבוע הפרופורציה ב- ניתן לתאר חוק זה במשוואה כך:


- הכוח, - המסה, - התאוצה.

חוק זה מהווה למעשה הגדרה של מושג חדש: מסה.

בחיי היום יום בדרך כלל איננו מבחינים בין "מסה" ל"משקל", וחוק זה יוצר את ההבחנה הזו. החוק מגדיר "מסה" כ"המידה בה גוף מתנגד לשינוי במהירותו": אם רוצים לשנות את מהירות הגוף, כלומר להפעיל תאוצה, צריך "להשקיע" כוח. היחס בין הכוח שיש להשקיע לתאוצה שכוח זה הצליח לחולל, היא המסה. לעומת זאת משקל הגוף הוא התרומה של כוח המשיכה בו נמשך גוף כלפי גוף אחר.

לדוגמה: כדי להאיץ גלולה שמסתה בתאוצה של , כלומר, כך שאם הכוח יפעל למשך שנייה אחת, מהירות הגלולה תשתנה ב- (בערך 3 מאך), בכיוון הכוח. יש להפעיל עליה למשך אותה שנייה כוח של (בקירוב משקלם של 10 גרם מסה). אותה עשירית ניוטון תאיץ אדם מבוגר, שלצורך הפשטות נחשב את משקלו כ-, תאוצה של (מילימטר) , כלומר אחרי שנייה רצופה של הפעלתו, תשתנה מהירות האדם במילימטר לשנייה בכיוון הכוח. כשהסתכלנו על הגלולה והאדם, לא בדקנו באיזה כוח הם נמשכים כלפי מטה, כלומר מה "משקלם". בדקנו באיזו מידה תשתנה מהירותם אם נפעיל עליהם כוח שווה. המידה הזו היא ההגדרה של "מסה", לפי החוק השני.

מסה כובדית אל מול מסה מהירותית[edit source | edit]

תורת ניוטון מספקת שתי הגדרות שונות ל"מסה": ההגדרה של "חוקי התנועה", שניתנה לעיל, כלומר המידה בה גוף מתנגד לשינוי במהירותו, וההגדרה של חוק הכבידה, כלומר המידה בה שני גופים נמשכים זה לזה "גרביטציונית". הדיכוטומיה הזו של הגדרת ה"מסה" הפריעה לפיזיקאים[דרוש מקור], עד הקבלה הכללית של תורת היחסות הכללית, ש"מסדירה את היחסים" בין שתיהן.

החוק השלישי של ניוטון, חוק הפעולה והתגובה[edit source | edit]

חוק זה דן בכוחות הפועלים באינטראקציה בין גופים.

האדם המושך חבל הקשור לקיר מפעיל עליו כוח F1. על האדם פועל כוח F2 השווה בגודלו והפוך בכיוונו

חוק זה קובע כי כאשר גוף מפעיל כוח כלשהו על גוף אחר, הגוף האחר יפעיל כוח השווה בעוצמתו אך מנוגד בכיוונו על הגוף הראשון. הפעולה והתגובה הם שני כוחות שווים ומנוגדים הפועלים על שני גופים שונים, לכן אין הם יכולים לבטל זה את זה אף על פי שסכומם הווקטורי הוא אפס. יש לשים לב כי שני כוחות שווים ומנוגדים הפועלים על אותו הגוף לעולם אינם זוג פעולה ותגובה.

בניסוח מתמטי:

על פי הגרסה החזקה של החוק השלישי של ניוטון, הכוח בין שני הגופים פועל על הקו הישר שמחבר ביניהם, ולעולם לא בקו עקום או משופע.

אי-תקפות[edit source | edit]

במערכות אלקטרומגנטיות שבהן פועל כוח לורנץ, החוק השלישי של ניוטון לא בהכרח תקף. למשל, במערכת שבה שני גופים טעונים במטען חשמלי נעים בניצב זה לזה, ייתכן מצב שבו אחד הגופים מפעיל כוח מגנטי על חברו ואילו הגוף השני לא מפעיל כוח כזה על הראשון. גם במערכות מרוחקות שבהן אין מגע בין שני הגופים, עקב הגודל הסופי של מהירות האור יעבור זמן מסוים עד שגוף אחד יפעיל כוח על הגוף השני. בפרק זמן זה, חוק הפעולה והתגובה איננו תקף.

דוגמאות לשימוש בחוקים[edit source | edit]

הידרוסטטיקה[edit source | edit]

הידרוסטטיקה עוסקת בחקר זורמים נחים[4], כלומר נמצאים בשיווי משקל. כפועל יוצא מכך פיתוחים רבים בתחום משתמשים בחוק הראשון על מנת לתאר מערכות אלו. לדוגמה חוק פסקל, אחד החוקים הבסיסיים בהידרוסטטיקה, אינו עקרון בפני עצמו אלא מסקנה הנובעת מחוקי המכניקה[5]. החוק מפותח תוך שימוש בכך שנוזלים נחים הם בשיווי משקל[5] ולכן הכוחות הפועלים עליו חייבים להיות מנוגדים בכיוונם, שווים בגודלם ובעלי קו מגמה משותף כפי העולה מהחוק הראשון של ניוטון[3].

כוח המופעל על ידי חומר זורם[edit source | edit]

שרטוט החומר הזורם הפוגע במדרון

כח המופעל על ידי חומר זורם כמו זרנוק של מים הניתז על חלון או תת-מקלע היורה לעבר מטרה הוא אינו גוף קשיח, נקודתי ובעלי מסה קבועה, ולכן אי אפשר להשתמש בנוסחה המקוצרת. פעמים רבות נדרש לחשב את כמות הכוח הפועל על יחידת נפח של הגוף על מנת לאמוד האם הגוף יעמוד בלחץ המופעל עליו.

לדוגמה: מקלע יורה כדורים במשקל במהירות ובתדירות . מולו נמצא מדרון המוצב בזווית יחסית למקליע (ראה שרטוט) אשר מחזיר את הכדורים במהירות והדרישה היא למצוא את הכוח המופעל על המדרון. הדרך הפשוטה ביותר למצוא זאת היא לפי הפרש התנעים. כדי למצוא את הפרש התנעים ראשית יש לאתר את ספיקת החומר שפוגעת במדרון, במקרה שלנו הוא:

. בהנחה שמהירות הזרימה אחידה אזי התנע המוזרם ליחידת זמן הוא כלומר . באופן דומה נמצא את ספיקת החומר הנפלט מן המדרון ואת מהירותו, מכאן שהכח שמוגדר כשינוי התנע הוא: .

גזירת חוק שימור התנע[edit source | edit]

  • מהחוק השני והשלישי ניתן להוכיח את חוק שימור התנע עבור מערכות מכניות, וזאת גם הצורה בה הוכח חוק שימור התנע לראשונה. כיום מקובל להתחיל בעקרון הפעולה המינימלית, לגזור ממנו את חוק שימור התנע וממנו לקבל את חוק זה.
  • החוק השני של ניוטון מגדיר את מושג התנע ואילו החוק השלישי שקול לחוק שימור התנע. את חוק שימור התנע ניתן להסיק בעזרת משפט נתר אם מניחים כי חוקי הפיזיקה אינווריאנטיים תחת טרנספורמציה (הזזה) של קואורדינטות המרחב.

מערכות מסה משתנה[edit source | edit]

מערכות מסה משתנה כמו טיל הפולט גזים, או חול הנשפך מתוך משאית נוסעת, הן אינן מערכות סגורות, ולכן לא יכולות להשתמש בחוק השני של ניוטון באופן ישיר באמצעות הפיכת המסה לפונקציה של הזמן:

שכן מלבד צמצום המסה בגוף המקורי, חלק מהתנע שטמון במהירות נישא יחד עם המסה שפחתה. טעות נפוצה היא לגזור את התנע בהגדרתו המקורית לפי הזמן, אך פעולה זו תגרור שגיאה שכן החוק השני של ניוטון הוגדר רק על מערכת בעלת מספר חלקיקים שלא משתנה במהלך הזמן.[6] אי לכך הנוסחה הבאה אינה נכונה:


קל להיווכח באי נכונות הנוסחה, שכן היא אינה מצייתת לעקרון היחסות של גלילי, כי לפי נוסחה זו במעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ייוצר כוח.[7] כדי ליצור נוסחה תקינה יש ליצור מערכת סגורה שתכיל את המסה ואת המסה הנפלטת/המתווספת ובה להשתמש בחוק השני של ניוטון. תוצאה של חישוב במערכת כזו מניבה את הנוסחה הבאה:

כאשר מייצג את מהירות המסה הנפלטת/מתווספת יחסית לגוף המואץ. מנוסחה זו רואים שכאשר אין שינוי במסה, או שהמהירות היחסית של המסה הנפלטת היא אפס כלומר לא נפלטה מסה, הנוסחה מצטמצמת ל .

לקריאה נוספת[edit source | edit]

קישורים חיצוניים[edit source | edit]

הערות שוליים[edit source | edit]

  1. ^ שלושת חוקי התנועה של ניוטון באתר מכון דוידסון
  2. ^ פרופ' שלמה דדו, פיזיקה 1+1מ, שיעור 4, קורס מצולם, הטכניון.
  3. ^ 3.0 3.1 פ.ו. סירס ומ.ו. זימנסקי (1974) פיסיקה תיכונית, מכניקה. תל אביב: הוצאת יבנה. עמוד 26.
  4. ^ פ.ו. סירס ומ.ו. זימנסקי (1974) פיסיקה תיכונית, מכניקה. תל אביב: הוצאת יבנה. עמוד 282.
  5. ^ 5.0 5.1 פ.ו. סירס ומ.ו. זימנסקי (1974) פיסיקה תיכונית, מכניקה. תל אביב: הוצאת יבנה. עמוד 284.
  6. ^ Kleppner, Daniel,, An introduction to mechanics, New York: McGraw-Hill, 1973
  7. ^ Angel R. Plastino, Juan C. Muzzio, On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 53, 1992-09-01, עמ' 227–232 doi: 10.1007/bf00052611