היפרבולה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ההיפרבולה y=\frac{1}{x}
מציאת מרכז של היפרבולה

במתמטיקה, היפרבולה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

\,A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

כאשר \,B^2 > 4 AC.

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר נתון (המכונה דירקטריקס) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה משמאל.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים. היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות המתארות היפרבולה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת קואורדינטות קרטזית[עריכת קוד מקור | עריכה]

(המרכז: \,(h, k) )

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1
\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1

בשתי משוואות אלה a הוא הציר הראשי ו-b הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש-b יהא גדול מ- a.

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

(x-h)(y-k) = c \,

משוואות האסימפטוטות הן:

y = \frac{b}{a}x
y = - \frac{b}{a}x

מערכת קואורדינטות קטבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

r^2 =\ \ \,  a\,\sec 2t
r^2 =    -a\,\sec 2t
r^2 =\ \ \, a\,\csc 2t
r^2 =    -a\,\csc 2t

הצגה פרמטרית (לענף הימני)[עריכת קוד מקור | עריכה]

x = a\,\cosh \theta;\; y = b\,\sinh \theta
x = a\,\tan \theta;\ \ y = b\,\sec \theta

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]