היפרבולואיד

בגאומטריה, היפרבולואיד של סיבוב הוא משטח שמתקבל כאשר מסובבים היפרבולה סביב אחד מהצירים הראשיים שלה (הצירים של הסימטריה של ההיפרבולה - בדרך כלל ציר ה-x או ציר ה-y).

היפרבולואיד חד יריעתי
חתכי חרוט ביניהם
היפרבולואיד דו יריעתי

לדוגמה: אם נסובב את ההיפרבולה $a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}=1$ סביב ציר ה-y, נקבל מבנה תלת-ממדי שנראה כמו שעון חול (כאשר מדובר בהיפרבולואיד חד-יריעתי).

היפרבולואיד של סיבוב נקרא גם היפרבולואיד מעגלי משום שהחתכים שלו במישור הניצב לציר הסיבוב הם עיגולים.

באופן כללי יותר, היפרבולואיד הוא משטח שמתקבל גם כאשר מעוותים את ההיפרבולואיד של סיבוב על ידי מתיחות בכיוונים שונים (scalings) – לדוגמה, למתוח אותו יותר בכיוון אחד מאשר בכיוון אחר. או על ידי העתקה אפינית – שינויים גאומטריים כמו סיבוב, הזזה, מתיחה, שיקוף או שילוב של כולם.

במקרה כזה, חתכי המשטח במישורים שונים כבר לא חייבים להיות עיגולים, אלא יכולים להיות אליפסות או צורות אחרות, אבל עדיין המשטח ישמור על התכונות הכלליות של היפרבולואיד.

היפרבולואיד הוא משטח קוודרי, כלומר משטח שמוגדר כקבוצת האפס שמקיימות פולינום ממעלה שתיים בשלושה משתנים. היפרבולואיד הוא משטח קוודרי שמיוחד בכך שהוא לא חרוט ולא גליל, יש לו מרכז סימטריה, ורבים מהחתכים שלו יוצרים היפרבולות. להיפרבולואיד יש שלושה צירי סימטריה ושלושה מישורי סימטריה, כאשר כולם ניצבים זה לזה בזוגות.

בהינתן היפרבולואיד, ניתן לבחור מערכת צירים קרטזית כך שההיפרבולואיד מוגדר על ידי אחת מהמשוואות הבאות: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,$ אוֹ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.$ צירי הקואורדינטות הם צירי סימטריה של ההיפרבולואיד והמקור הוא מרכז הסימטריה של ההיפרבולואיד. בכל מקרה, ההיפרבולואיד אסימפטוטי לקונוס של המשוואות: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.$

היפרבולואיד הוא היפרבולואיד של סיבוב רק כאשר a²=b², כלומר כשהמרחקים מהצירים במישור ה-xy שווים. אם הערכים אינם שווים, כיווני הצירים נקבעים באופן ייחודי, למעט אפשרות להחליף בין ציר ה-x לציר ה-y

ישנם שני סוגים של היפרבולואידים. במקרה הראשון (כשהמשוואה כוללת פלוס אחד בצד ימין): היפרבולואיד חד-יריעתי, הנקרא גם היפרבולואיד היפרבולי. זהו משטח מחובר, שיש לו עקמומיות גאוסיאנית שלילית בכל נקודה. משמעות הדבר היא שכמעט בכל נקודה שבה החיתוך של ההיפרבולואיד ומישור המשיק שלו בנקודה מורכב משני ענפי עקומה בעלי משיקים ברורים בנקודה. במקרה של ההיפרבולואיד החד-יריעתי, ענפי העקומות הללו הם ישרים, ולכן ההיפרבולואיד הוא משטח שאפשר לבנות אותו בעזרת שתי קבוצות שונות של קווים ישרים.

במקרה השני (כשהמשוואה כוללת מינוס אחד בצד ימין): היפרבולואיד דו-יריעתי, המכונה גם היפרבולואיד אליפטי. למשטח שני חלקים נפרדים ועקמומיות גאוסית חיובית בכל נקודה. המשטח קמור במובן שמישור המשיק בכל נקודה חותך את המשטח רק בנקודה זו.

ייצוגים פרמטריים

קואורדינטות קרטזיות להיפרבולואידים מוגדרות בדומה לקואורדינטות כדוריות, כאשר זווית האזימות (θ∈ [0,2π נשמרת, אך זווית הנטייה v מוחלפת בפונקציות טריגונומטריות היפרבוליות.

היפרבולואיד חד-יריעתי: (−∞,∞) ∈ v ${\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}$

היפרבולואיד דו-יריעתי: v ∈ ([0, ∞)

${\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}$

היפרבולואיד חד יריעתי: יצירה על ידי היפרבולה מסתובבת (למעלה) וקו (למטה: אדום או כחול)

הייצוג הפרמטרי הבא כולל היפרבולואידים של יריעה אחת, שתי יריעות וחרוט הגבול המשותף שלהן, כל אחד עם $z$ ציר הסימטריה: $\mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)$

עֲבוּר $d>0$ מקבלים היפרבולואיד של יריעה אחת,
עֲבוּר $d<0$ היפרבולואיד של שני יריעות,
עֲבוּר $d=0$ קונוס כפול.

ניתן לקבל ייצוג פרמטרי של היפרבולואיד עם ציר סימטריה שונה על ידי הזזת איבר ה-cs לרכיב המתאים במשוואה שלמעלה.

באופן כללי יותר, היפרבולואיד בעל אוריינטציה שרירותית, שמרכזו ב- $v$ , מוגדר על ידי המשוואה $(\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,$ כאשר $A$ היא מטריצה ו- $x$ ו- $v$ הם וקטורים.

הווקטורים העצמיים של $A$ מגדירים את הכיוונים העיקריים של ההיפרבולואיד והערכים העצמיים של A הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים . להיפרבולואיד חד יריעתי יש שני ערכים עצמיים חיוביים וערך עצמי שלילי אחד. להיפרבולואיד דו יריעתי יש ערך עצמי חיובי אחד ושני ערכים עצמיים שליליים.

הווקטורים העצמיים של A מגדירים את הכיוונים הראשיים של ההיפרבולואיד, והערכים העצמיים הם ההפכים של ריבועי חצאי הצירים:

${1/a^{2}}$

${1/b^{2}}$

${1/c^{2}}$

להיפרבולואיד חד-יריעתי יש שני ערכי עצמי חיוביים ואחד שלילי, בעוד שלהיפרבולואיד דו-יריעתי יש ערך עצמי חיובי אחד ושניים שליליים.

תכונות

היפרבולואיד חד-יריעתי

קווים על פני השטח

היפרבולואיד חד-יריעתי מכיל שתי משפחות של קווים ישרים ולכן הוא משטח נשלט כפול.

אם להיפרבולואיד יש את המשוואה ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ אז הקווים

$g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \$ כלולים בתוך פני השטח.

במקרה $a=b$ ההיפרבולואיד הוא משטח סיבוב וניתן ליצור אותו על ידי סיבוב אחד משני הקווים $g_{0}^{+}$ אוֹ $g_{0}^{-}$ , אשר מוטים לציר הסיבוב (ראה תמונה). תכונה זו נקראת משפט רן. היצירה הנפוצה יותר של היפרבולואיד סיבובי חד יריעתי היא סיבוב היפרבולה סביב צירה החצי-משני (ראו תמונה; סיבוב ההיפרבולה סביב צירה השני נותן היפרבולה דו יריעתית).

היפרבולואיד חד-יריעתי שקול פרויקטיבית לפרבולואיד היפרבולי.

היפרבולואיד דו יריעתי

היפרבולואיד דו-יריעתי אינו מכיל קווים ישרים על פניו.

ניתן לנתח את חיתוכי המישור שלו על ידי התמקדות בגרסה הפשוטה של היפרבולואיד דו-יריעתי יחידה, המתוארת על ידי המשוואה:

H2 : x2+y2−z2=−1.

משטח זה מתקבל מסיבוב של היפרבולה סביב אחד מציריה, שהוא הציר החותך את ההיפרבולה. כל היפרבולואיד דו-יריעתי סיבובי כולל מעגלים, וזה נכון גם להיפרבולואיד הכללי, אם כי פחות ברור במבט ראשון.

הערה: היפרבולואיד דו-יריעתי שקול פרויקטיבית לכדור.

תכונות אחרות

סימטריות

ההיפרבולואידים עם משוואות ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$ הם

סימטריה נקודתית למקור,
סימטרי למישורי הקואורדינטות
סימטרי סיבובי לציר z וסימטרי לכל מישור המכיל את ציר z, במקרה של $a=b$ (היפרבולואיד של סיבוב).

עקמומיות

בעוד שהעקמומיות הגאוסית של היפרבולואיד יד יריעתי היא שלילית, זו של היפרבולואיד דו יריעתי היא חיובית. ולמרות שהיפרבולואיד דו-יריעתי בעל עקמומיות חיובית במטריקה הרגילה, ניתן לבחור מטריקה אחרת מתאימה עליו כך שישמש גם כמודל לגאומטריה היפרבולית.

מבנים היפרבולואידיים

היפרבולואידים חד-יריעתיים משמשים בבנייה במסגרת מבנים הנקראים מבני היפרבולואיד. כיוון שהיפרבולואיד הוא משטח נשלט כפול, ניתן לבנות אותו באמצעות קורות פלדה ישרות בלבד, שמונחות במרחב בצורה סיבובית ייחודית. כלומר, הקורות עצמן הן ישרות לחלוטין, אך סידורן במרחב יוצר את הצורה המעוקלת והמסובבת של ההיפרבולואיד^[1]. כך מתקבל מבנה חזק ויציב בעלות נמוכה יותר לעומת שיטות בנייה אחרות