מערכת צירים קרטזית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

מערכת הצירים הקרטזית היא מערכת צירים שהגה בשנת 1637 המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי רנה דקארט, כדרך להצגה מדויקת של מיקום נקודות במישור ובמרחב התלת-ממדי.

במערכת צירים זו - הציר השמאלי מייצג את הציר השלילי (על ידי מספרים בעלי מקדם שלילי) והציר הימני מייצג את הצד החיובי (על ידי מספרים בעלי מקדם חיובי). כך למשל הספרה 1 נמצא בציר הימני והספרה 1- נמצאת בציר השלילי. כיוון הצירים החיובי והשלילי נעשו באופן שרירותי, ובאותה מידה עשויים להיות נכונים גם אם הופכים אותם. ישנה השערה שהציר החיובי נעשה במקביל לכתיבה הנורמלית ('בחיובית') של הכתיבה באותיות הלטיניות שבה רנה דקארט השתמש, והציר השלילי במקביל לכתיבה הנגדית של רצף הכתיבה הנ"ל.

הגדרה רשמית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת הצירים הקרטזית (במרחב אוקלידי מממד n) היא מערכת המורכבת מ-n וקטורי יחידה הניצבים זה לזה. כלומר: איברי הבסיס היוצרים אותם הם \ 1 \le i \le n \ : \ \vec{e_i} כאשר הכוונה כאן היא לn-יה סדורה שבה יש 1 במקום ה-i ו-0 בשאר המקומות. בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי. בסיס זה מהווה בסיס אורתונורמלי קבוע.

שימושים במערכת הצירים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ברוב המקרים בהם מדובר על מערכת צירים, הכוונה היא למערכת צירים קרטזית. השימוש בה מתאפיין בעיקר בשני המקרים הפרטיים של המישור ( \mathbb{R}^2 ) ושל המרחב התלת-ממדי ( \mathbb{R}^3 ), שאותם קל לתפוש ולשרטט.

קיים שימוש במערכות צירים נוספות למערכת הצירים הקרטזית, בהם רק הפיזיקה והמתמטיקה עושים שימוש נרחב.

מערכת צירים דו-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת הצירים הקרטזית המודרנית מוגדרת לרוב על ידי שני קווים ישרים הנקראים צירים, הממוקמים בזווית ישרה אחד מהשני, ויוצרים מישור (מישור ה-xy). הציר האופקי מסומן ב-x, והציר האנכי מסומן ב-y.

נקודת החיתוך של הצירים נקראת ראשית הצירים ומסומנת לרוב באות הלועזית O. כדי לציין נקודה מסוימת במערכת צירים זו, מציינים את יחידת ה-x ואת יחידת ה-y של הנקודה ויוצרים את הזוג הסדור (x,y). במערכת צירים תלת-ממדית נוספת גם יחידת z ונוצרת השלשה הסדורה (x,y,z).

הנקודה p בתמונה הבאה נמצאת במיקום (3,5).

Cartesiancoordinates2D he.svg

מקרה זה משמש:

  1. תרגום של גאומטריה אוקלידית לגאומטריה אנליטית.
  2. ציור גרפים של תופעות (למשל מכירות) לפי זמן.
  3. הצגה של גרפיקה על מסך המחשב.
  4. שרטוט מפות גאוגרפיות (דו-ממדיות) ושימוש במערכת צירים קרטזית על מנת לתת נקודות ציון (קואורדינטות) למקומות חשובים על גבי המפה. ראו גם: קווי אורך וקווי רוחב.

מערכת צירים תלת-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתחילת המאה ה-19 נוסף ממד נוסף של מדידה, בעזרת ציר ה-z.

Cartesian coordinates 3D he.svg מערכת צירים 3D קרטזית ימנית.svg

הבסיס של מערכת צירים זאת הוא

\ \hat{x} = \hat{e_1} = (1,0,0) \quad \hat{y} = \hat{e_2} = (0,1,0) \quad \hat{z} = \hat{e_3} = (0,0,1)

וקל לראות שהם אכן ניצבים גאומטרית וכן אורתוגונליים ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית. יתרה מכך, וקטורי הבסיס מהווים שלשה ימנית כפי שניתן לראות מביצוע המכפלה הווקטורית שלהם: \ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}.

הקואורדינטות הקרטזיות ב \mathbb{R}^3 משמשות כמבנה נוח ושימושי ביותר לתיאור המרחב התלת ממדי, לצורכי אנליזה וקטורית ותיאור שדות פיזיקליים.

תיאור זה רווח במיוחד בפיזיקה ובו מערכת הצירים היא גם קונסטרוקציה אלגברית ולא גאומטרית גרידא.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]