הלמה של בורל-קנטלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב הסתברות, ותהי סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, .

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מתקיים כי , אז

הלמה השנייה של בורל-קנטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.[3] אם מתקיים כי , אז .

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר . נשים לב כי במקרה זה, . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים שעבורה .

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב כי הלמה השנייה של בורל-קנטלי לא קובעת את הכיוון ההפוך של הלמה הראשונה באופן כללי, אלא מוסיפה את הדרישה שהמאורעות יהיו בלתי-תלויים. ואכן, במקרה בו המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות במרחב ההסתברות עם מידת לבג. מאורעות אלה כמובן תלויים, שכן למשל לכל מתקיים .

ואכן, למרות שמתקיים , עדיין .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
  2. ^ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
  3. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית , לכל קבוצת מאורעות , מתקיים כי .