הלמה של בורל-קנטלי
בערך זה |
הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.
נוסח פורמלי
[עריכת קוד מקור | עריכה]יהי מרחב הסתברות, ותהי סדרה של מאורעות.
נתבונן במאורע הבא, .
הלמה הראשונה של בורל-קנטלי
[עריכת קוד מקור | עריכה]אם מתקיים כי , אז
הלמה השנייה של בורל-קנטלי
[עריכת קוד מקור | עריכה]נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.[3] אם מתקיים כי , אז .
נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.
הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.
הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות
[עריכת קוד מקור | עריכה]נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר . נשים לב כי במקרה זה, . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים שעבורה .
הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה
[עריכת קוד מקור | עריכה]הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.
נתבונן במאורעות במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על . מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן גורר את לכל . ואכן, למרות שמתקיים , עדיין .
ראו גם
[עריכת קוד מקור | עריכה]- משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
- מספר נורמלי
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ^ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
- ^ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
- ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית , לכל קבוצת מאורעות , מתקיים כי .