הלמה של בורל-קנטלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי (X,\mathcal{F}, \mathbb{P}) מרחב הסתברות, ותהי \left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} קבוצה בת-מניה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, \left\{\text{infinitely many of the } A_i \text{ occur} \right\} = \limsup_{i}\left(A_i\right) = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i.

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מתקיים כי \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) < \infty, אז \mathbb{P}\left(\limsup_{i}\left(A_i\right)\right) = 0

הלמה השנייה של בורל-קנטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.[3] אם מתקיים כי \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) = \infty, אז \mathbb{P}\left(\limsup_{i\to\infty}A_i\right) = 1.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע \limsup_{i}\left(A_i\right) הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset .... נשים לב כי במקרה זה, \limsup_i\left(A_i\right) = \left\{\exists_j, A_j \text{ occures} \right\}. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים \left\{i_k\right\}_{k=1}^{\infty} שעבורה \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_{i_{k+1}} \mid A_{i_{k}}^{c}\right) = \infty.

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב כי הלמה השנייה של בורל-קנטלי לא קובעת את הכיוון ההפוך של הלמה הראשונה באופן כללי, אלא מוסיפה את הדרישה שהמאורעות יהיו בלתי-תלויים. ואכן, במקרה בו המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות A_i = \left[0,\frac{1}{i}\right] במרחב ההסתברות \left[0,1\right] עם מידת לבג. מאורעות אלה כמובן תלויים, שכן למשל לכל i<j מתקיים \mathbb{P}\left(A_i \cap A_j\right) = \mathbb{P}\left(A_i\right) = \frac{1}{i} \neq \frac{1}{i}\cdot\frac{1}{j} = \mathbb{P}\left(A_i\right)\cdot\mathbb{P}\left(A_j\right).

ואכן, למרות שמתקיים \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i} = \infty, עדיין \mathbb{P}\left(\limsup_i\left(A_i\right)\right) = \mathbb{P}\left(\left\{0\right\}\right) = 0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
  2. ^ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
  3. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית i_1,...,i_k, לכל קבוצת מאורעות A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}, מתקיים כי \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right).