השלמה לריבוע

הדמיה גאומטרית מונפשת של תהליך ההשלמה לריבוע.

השלמה לריבוע היא טכניקה אלגברית לטיפול בביטוי מהצורה

$\ Ax^{2}+Bx+C$

הנקרא גם טרינום או משוואה ריבועית (כאשר משווים את הביטוי ל-0).

השלמה לריבוע מתבצעת בשלבים הבאים:

1. לקיחת הביטוי $\ Ax^{2}+Bx$ והפיכתו לביטוי $\ \left({\sqrt {A}}x+{\frac {B}{2{\sqrt {A}}}}\right)^{2}$
2. החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: $\ -{\frac {B^{2}}{4A}}$

כלומר:

$\ Ax^{2}+Bx=\left({\sqrt {A}}x+{\frac {B}{2{\sqrt {A}}}}\right)^{2}-{\frac {B^{2}}{4A}}$

לחלופין, אפשר לבצע זו בצורה הבאה:

1. לקיחת הביטוי $\ Ax^{2}+Bx$ והפיכתו לביטוי $\ A\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}$
2. החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: $\ -{\frac {B^{2}}{4A}}$

כלומר:

$\ Ax^{2}+Bx=A\left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}-{\frac {B^{2}}{4A}}$

באמצעות שיטה זו אפשר להוכיח שהפתרונות של משוואה ריבועית נתונים על ידי

$\ x_{1,2}=-{\frac {B}{2A}}\pm {\frac {\sqrt {B^{2}-4AC}}{2A}}$

חשיבות

שימושים נפוצים להעלאה בריבוע הם בפתירת אינטגרלים או בהוכחות של אי שוויונים כשרוצים להראות כי ביטוי מסוים הוא חיובי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא השלמה לריבוע בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', אז איך פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", 26 בינואר 2008 (כולל הסבר מפורט על טכניקת ההשלמה לריבוע)
• השלמה לריבוע, באתר MathWorld (באנגלית)