השערת גולדבך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים, שלפיה כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקור הבעיה במכתב ששלח המתמטיקאי הפרוסי כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר בשנת 1742, ובו הציג את ההשערות הבאות: כל מספר N שאפשר להציג כסכום של שני ראשוניים, אפשר להציג גם כסכום של שלושה, ארבעה, ועד N ראשוניים (לרבות המספר 1, שבדרך-כלל אינו נחשב ראשוני); וכמו כן, כל מספר אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. על ההשערה הראשונה העיר אוילר שהיא נובעת מהשערה שהציג לו גולדבך במכתב קודם (שנוסחו המדויק לא נשמר), ולפיה כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים.

אם אין כוללים את 1 במניין הראשוניים, להשערה על הצגת מספר טבעי כסכום של שלושה ראשוניים יש שני מרכיבים: השערת גולדבך (כפי שנוסחה לעיל) עבור מספרים זוגיים, והאפשרות להציג כל מספר אי-זוגי באחת משתי דרכים: כסכום \ p+2+2 כאשר p ראשוני אי-זוגי, או כסכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים. ההנחה שלפיה האפשרות השנייה נכונה תמיד ידועה בשם הגרסה החלשה של השערת גולדבך. השערת גולדבך גוררת את הגרסה החלשה, משום שאפשר להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3, ועוד מספר זוגי.

השערת גולדבך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד \ 2 \cdot 10^{17}. ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. זו כמובן אינה הוכחה.

תוצאות חלקיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • ב-1939 הוכיח שנירלמן שהצפיפות של קבוצת המספרים הניתנים להצגה היא חיובית, והסיק מכך שכל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של עד 300,000 ראשוניים. שיפורים רבים בכיוון זה הביאו לתוצאה הנוכחית (Olivier Ramare, 1995) שכל מספר זוגי ניתן להציג כסכום של ששה ראשוניים.
  • ב-1966 הוכיח Chen Jingrun בעזרת שיטת הנפה, שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ראשוני ושל מספר בעל שני גורמים ראשוניים לכל היותר.
  • ב-2002 הראו רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) ו- ג'יי.סי. פצ'טה (J.C. Puchta) שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של שני ראשוניים, ועוד בדיוק 13 חזקות של 2‏‏[1]. במלים אחרות, אפשר להציג כל מספר זוגי כסכום של שני ראשוניים, עם 13 טעויות בינאריות. את המספר 13 אפשר להחליף ב-7, אם מניחים את השערת רימן המוכללת. הראשון שהוכיח טענה מסוג זה הוא Yu. V. Linnik, ב- 1951.

השערת גולדבך בתרבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ספרו של אפוסטולוס דוקסיאדיס, הדוד פטרוס והשערת גולדבך‏‏[2], הוא רומן המתרחש על רקע חיפוש הוכחה להשערת גולדבך. לקידום מכירתו של הספר הכריזו המו"לים של המהדורה האנגלית של הספר, בארצות הברית ובבריטניה, על פרס בסך מיליון דולר למי שיוכיח את השערת גולדבך. עד תום המועד שנקבע למתן ההוכחה לא נמצאה ההוכחה המבוקשת.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏ Heath-Brown, D. R and Puchta, J.-C., Integers represented as a sum of primes and powers of two., Asian J. Math. 6 (2002), no. 3, 535--565. ‏
  2. ^ ‏מהדורה עברית: תרגום: אמיר צוקרמן, הוצאת ידיעות ספרים, 2000‏