הגרסה החלשה של השערת גולדבך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הגרסה החלשה של השערת גולדבך היא משפט בתורת המספרים שלפיו כל מספר אי-זוגי גדול מ-5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. ההשערה הופיעה בהתכתבות בין כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב-1742 יחד עם השערת גולדבך הרגילה. ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב-1922 על ידי הארדי וליטלווד. ב-1937 הוכיח איוואן וינוגרדוב כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים הגדולים מקבוע מסוים . לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את החסמים על הקבוע, עד שלבסוף ב-2013 הצליח הראלד הלפגוט לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה.

קל לראות שהגרסה החלשה של השערת גולדבך שקולה לכך שכל מספר טבעי גדול מ-7 הוא סכום של 4 ראשוניים. הגרסה החלשה של השערת גולדבך נקראת כך כי קל להסיק אותה מהשערת גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי גדול מ-5 הוא סכום של שני ראשוניים. למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל מספר טבעי גדול מ-5 הוא סכום של 3 ראשוניים.

קשר להשערות אחרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה החלשה של השערת גולדבך נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם מספר אי-זוגי גדול מחמש אז הוא מספר זוגי גדול מ-2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז עבור ו- ראשוניים ומכאן ש .

באופן דומה קל להראות שהגרסה החלשה של השערת גולדבך גוררת שכל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים.

הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי גדול מ-1 הוא סכום של לא יותר מ- ראשוניים. הקבוע נקרא על שם שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה.[1] לאחר הוכחתו של שנירלמן מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. הגרסה החלשה של השערת גולדבך גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 (טאו 2012[2]) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל-3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ-3.

ישנה גרסה מעט חזקה יותר של הגרסה החלשה של השערת גולדבך, הטוענת כי כל מספר אי-זוגי גדול מ-7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי-זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב-1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל-פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.

הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב-1912 כ"בלתי ניתנת להשגה".[3] ב-1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.[4]

ב-1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי-זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים.[5]

איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את ההנחה ב-1937.[6][7] ההוכחה של וינוגראדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, Borodzin, הצליך לתת כזה חסם ב-1939.[8] החסם עמד על . ב-1956 שיפר Borodzin את ערך ל .[9] החסם שופר ל-‏ (Chen-Wang, 1989)[10] ושוב ל-‏ (Chen-Wang, 1996). [11] ב-2002 שופר החסם ל-‏ על ידי Liu-Wang,[12] אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.

בשנת ב-1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינוביב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת:[13] זינוביב הוריד את החסם ל (בהנחת השערת רימן). [14] לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד וארבעתם הסיקו ממנה (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד . בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקה זאת ללא שימוש בהשערת רימן.

בשנים 2012 ו-2013 הוכיח הראלד הלפגוט (Harald Andrés Helfgott) את הגרסה החלשה של השערת גולדבך בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.

שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה.[15][16] מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב.[17] בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד .[18] הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד . במאמר האחרון[19] הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים הגדולים מ-[20] ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בניספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד . שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר[21] של פלאט שנכתב באותו הזמן.[22]

טבלה עם תוצאות היסטוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנגעות לבעיה במהלך השנים.

מקרא[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • התוצאות באדום מותנות בהשערת רימן המוכללת.[23]
  • התוצאות המודגשות בכל שורה הן אלה שהוכחו בשנה המתאימה. היתר הועתקו לצורך השוואה.
  • התוצאות בירוק הן תוצאות שלא פורסמו באופן מלא.
  • התוצאות בכתום הן תוצאות מותנות בהשערת רימן המוכללת שלא פורסמו באופן מלא.[23]
  • התוצאות בכחול הן תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת.
  • התוצאות במג'נטה הם תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת בהסתמך עלֹ השארת רימן המוכללת.[23]
שנה קבוע ממנו הוכחה ההשערה בכלים אנליטיים קבוע עד אליו נבדקה ההשערה על ידי חישוב ועל ידי הערכות עלֹ התפלגות הראשוניים קבוע עד אליו נבדקה השערת גולדבך הרגילה חסם מלעיל על קבוע שנירלמן
1855 [24] [25]
1896 [26]
1922 ;;[27]
1933 ;;
1926 ; ; [28]
1937 ;[6]
1939 ; ;[8]
1940 ;; [24] [29]
1956 ;;
1964 ;; [30] [31]
1965 ;; [30] [32]
1969 ;;
1972 ;;
1975 ;;
1976 ;; [33]; [34]
1977 ;; ;
1983 ;; ;
1989 ;[10] [33]; [34] [35]
1993

; ;[36]

[33]; [34] [37]
1995

; ;

;
1996 ;[11] ; ;
1997 ; [38] ;[34] [39] [39]
1998 ; [40]; [34] [41]
2001 ; ; [34] [42]
2002 ;[12] ;
2003 ; [43];
2012 ; [44]; [34] [45]
2013 ; [46];
סוף 2013 ; ;

רעיון ההוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה של הלפגוט כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות מבססות על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים ומנסים לשערך את הסכום

כאשר ו- ראשוניים. כדי להראות ש הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש . שיטת השערוך מבוססת על התמרת פוריה. התוצאה המתקבלת היא מהצורה כאשר היא פונקציה מפורשת כלשהי ו- הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת . מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר . מוכיחים שזה קורה עבור אי-זוגי כאשר קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד .

החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא החסמים על בעוד שבדיקת ההשערה עד היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.

שיטות להוכחת ההשערה למספרים גדולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השיטה לשערוך נקראת שיטת המעגל של הרדי וליטלווד. היא מבוססת על שערוך של טור החזקות

על מעגל היחידה במישור המרוכב. קל לראות ש כאשר
לכן די לשערך את על מעגל היחידה. למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה בהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלה עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חזקות ראשוניים. שערוך של גרסאות אלה יוביל לשערוך מספר הדרכים (המשכלל) בהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה. אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה.

ההוכחה המקורית של הרדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של בשורשי יחידה. ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של . לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הרדי וליטלווד להרכיב את השערוך של לכל מעגל היחידה.

הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את השערוך לשני חלקים:

  • שערוך סביב שורשי יחידה ממעלה נמוכה. קשתות אלה נקראות "הקשתות גדולות" ואיחודן מסומן בדרך כלל ב .
  • שערוך בשאר הנקודות. קבוצת נקודות אלו נקראת "הקשתות הקטנות" ומסומנת בדרך כלל ב .

ונגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על שיטות נפה. כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרש שערוך פחות מדויק עבורן. לכן נתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי-התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב. אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט היא שבהוכחתו אזורים אלו הם המספרים המרוכבים בעלי ערך מדומה קטן מקבוע מסוים (סדר גודל של ; עבור כ- פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי-התאפסות זאת התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על זאת הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן שיפר הלפגוט את החסמים על הקשתות הקטנות.

שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המספרים שעד אליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות יותר מתוחכמת:

בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית . בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב-2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על .

כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד קטן מ . אם מניחים את השערת רימן קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור מסדר גודל קרוב ל-. בשביל ו- מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב. עבור ו- בהוכחה של הלפגוט הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ- ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים בהן השתמש הלפגוט בהוכחתו.

דרך נוספת היא למצוא באופן מפורש סדרה של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ-. בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם. לפי משפט המספרים הראשוניים סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך-הכל . אמנם מאז 2002 ניתן, במבחן AKS לראשוניות, לבדוק את ראשוניותו של מספר בזמן פולינומי במספר הספרות, אך עדיין מדובר באלגוריתם איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה. אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם. הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם מספרי פורת'. מספר פורת' הוא מספר מהסוג כאשר . בזכות משפט פורת' קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה.

אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע מ- גדול בהרבה. לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד . לכן כבר ב-1989 הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Schnirelmann, L.G. (1933). "Über additive Eigenschaften von Zahlen". Math. Ann. . 107: 649–690. doi:10.1007/BF01448914. Zbl 0006.10402.
  2. ^ טרנס טאו Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes
  3. ^ E. Landau. Geloste und ungeloste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. In Proceedings of the fifth Itnernational Congress of Mathematicians, volume 1, pages 93–108. Cambridge, 1912
  4. ^ אדמונד לנדאו. "שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית". http://imu.org.il/History/LANDAU/landau.ps
  5. ^ G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44(1):1–70, 1922.
  6. ^ 6.0 6.1 I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes. Dokl. Akad. Nauk. SSR, 15:291–294, 1937.
  7. ^ Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport. London and New York: Interscience. MR 0062183.
  8. ^ 8.0 8.1 לפי N. G. Chudakov. Introduction to the theory of Dirichlet L-functions. OGIZ, Moscow-Leningrad, 1947
  9. ^ התוצאה הוצהרה ב K. G. Borodzkin. On the problem of I. M. Vinogradov’s constant (in Russian). In Proc. Third All-Union Math. Conf., volume 1, page 3. Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1956. ללא הוכחה
  10. ^ 10.0 10.1 J. R. Chen and T. Z. Wang, On odd Goldbach problem, Acta Math. Sinica 32 (1989), 702–718
  11. ^ 11.0 11.1 J. R. Chen and T. Z. Wang. The Goldbach problem for odd numbers. Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), 39(2):169–174, 1996.
  12. ^ 12.0 12.1 M.-Ch. Liu and T. Wang. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture. Acta Arith., 105(2):133–175, 2002.
  13. ^ J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.
  14. ^ Dmitrii Zinoviev, On Vinogradov's Constant in Goldbach's Ternary Problem
  15. ^ Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". http://arxiv.org/abs/1205.5252
  16. ^ Helfgott, H.A. (2012). "Major arcs for Goldbach's theorem". http://arxiv.org/abs/1305.2897
  17. ^ D. Platt. Computing degree 1 L-functions rigorously. PhD thesis, Bristol University, 2011.
  18. ^ H. A. Helfgott and David J. Platt. Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 · 1030 . Exp. Math., 22(4):406–409, 2013.
  19. ^ H. A. Helfgott. The Ternary Goldbach Conjecture is true. Preprint. Available as arXiv:1312.7748.
  20. ^ בגיסה הנוכחית של המאמר החסם שופר ל
  21. ^ D. Platt. Computing π(x) analytically. To appear in Math. Comp.. Available as arXiv:1203.5712.
  22. ^ למעשה היו עבודות חישוביות קודמות שגם התאימו למטרה זאת, אולם הלפגוט בחר את עבודתו של פלאט כי ראה בה כיותר אמינה
  23. ^ 23.0 23.1 23.2 בעמודה השנייה מספיקה השערת רימן הקלאסית
  24. ^ 24.0 24.1 ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השארת גולדבך הרגילה ומטבלאות הראשוניים שהיו זמינות באותה עת
  25. ^ Desboves ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  26. ^ Haussner ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  27. ^ המאמר המקורי של הרדי וליטלווד לא מציין חסם מפורש, אולם ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם שנעשה ב G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 מקבל תוצאה זאת
  28. ^ לפי . Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 ב. לוק (תלמידו של לנדאו) קבל תוצאה זאת בתזת הדוקטורת שלו
  29. ^ Pipping ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  30. ^ 30.0 30.1 ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של Nagura מ-1952
  31. ^ Shen ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  32. ^ Stein ו Stein ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  33. ^ 33.0 33.1 33.2 ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השארת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ 1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360.
  34. ^ 34.0 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השארת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ 1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360. בהינתן השארת רימן
  35. ^ Granville, Van de Lune, and te Riele ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  36. ^ T.Z. Wang and J.R. Chen, On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis, Sci. China Ser. A 36 (1993)
  37. ^ Sinisalo ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  38. ^ D. Zinoviev. On Vinogradov’s constant in Goldbach’s ternary problem. J. Number Theory, 65(2):334–358, 1997.
  39. ^ 39.0 39.1 J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.
  40. ^ Saouter, ראה הסקירה ב[https://arxiv.org/pdf/1305.3062.pdf Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to ]
  41. ^ Deshouillers, te Riele, and Saouter ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  42. ^ Richstein ראה הטבלה ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  43. ^ Ramare ו Saouter, ראה הסקירה ב[https://arxiv.org/pdf/1305.3062.pdf Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to ]
  44. ^ הלפגוט, ראה הסקירה ב[https://arxiv.org/pdf/1305.3062.pdf Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to ]
  45. ^ Oliveira e Silva, Herzog, and Pardi ב Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to
  46. ^ הלפגוט ופלאט [https://arxiv.org/pdf/1305.3062.pdf Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to ]