השערת קולץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השערת קולץ היא בעיה בתורת המספרים, הקשורה בהתייצבות של תהליך מספרי מסוים. ההשערה קרויה על-שם לותר קולץ, שפרסם אותה ב-1937, והיא ידועה גם בשמות השערת 3n + 1 או השערת אולם (על שם סטניסלב אולם).

מגדירים כלל, באופן הבא: מספרים זוגיים יש לחלק בשתיים, בעוד שמספרים אי-זוגיים יש להכפיל בשלוש ולהוסיף לתוצאה אחת. ההשערה היא שהפעלה חוזרת של כלל זה תביא בסופו של דבר למספר 1, ואין זה משנה מהי נקודת ההתחלה. לדוגמה, הפעלת התהליך על המספר 11 מביאה ל- 34, משם ל- 17, ואחר-כך, לפי הסדר, \ 52 \rightarrow 26 \rightarrow 13 \rightarrow 40 \rightarrow  20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1. בדוגמה זו, כמו במקרים רבים אחרים, מתקבלים מספרים גדולים יחסית, אך בסופו של דבר הירידות מתגברות על העליות, והתוצאה מגיעה ל- 1.

השערה זו זכתה לפופולריות רבה, בעיקר משום שהיא קלה לתאור וקל מאוד לתכנת ולבדוק אותה בעזרת מחשב. ההשערה נבדקה עבור מספרים עד ל- \, 5\cdot 2^{60} [1], אבל לא ידועה לה עדיין כל הוכחה. פול ארדש אמר על השערה זו כי "המתמטיקה עדיין לא מוכנה לבעיות כאלה", ואף הציע, כדרכו, פרס כספי בן 500 דולר למי שימצא לה הוכחה.

טיעון אינטואיטיבי (אם כי לא קביל מתמטית) כרוך בהערכת סדר הגודל של המספרים המעורבים. כל מספר זוגי מוכפל ב- 1/2, ואילו מספר אי-זוגי מכפילים ב- 3, ואחר-כך (מכיוון שהתוצאה לאחר הוספת 1 היא תמיד זוגית) מחלקים ב- 2; אם-כך, המספר הוכפל (בקירוב) ב- 3/2. אם מניחים שלשני האירועים "סיכויים" שווים, הרי שבצעד ממוצע מכפילים את המספר המעורב ב- 3/4, ולכן הוא הולך וקטן.