חבורה מוצגת סופית

בתורת החבורות, חבורה מוצגת סופית (מ"ס) היא חבורה שיש לה הצגה עם מספר סופי של יוצרים ומספר סופי של יחסים. חבורה כזו אפשר לראות כאוסף המילים בקבוצה סופית של אותיות, בכפוף למספר סופי של תנאים המגדירים אלו מילים שקולות זו לזו.

סימון

סימון מקובל ושימושי לחבורה מוצגת סופית הוא $\langle S\mid R\rangle$ כאשר $S$ היא קבוצת יוצרים ו-$R$ קבוצה של יחסים. לדוגמה את החבורה הציקלית מסדר $n$ ניתן לכתוב כ-$\mathbb {Z} _{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle$.

חבורות נוצרות סופית

חבורות מוצגות סופית מהוות מחלקה חשובה של חבורות נוצרות סופית, אבל לא כל חבורה נוצרת סופית אפשר להציג באופן סופי. יש רק אָלֶף אֶפֶס חבורות מ"ס, לעומת אלף חבורות נוצרות סופית. משום כך, "כמעט כל" חבורה נוצרת סופית אינה ניתנת לתיאור באמצעות מספר סופי של יחסים. תוצאות אלה הוכיח ב-1937 B.H. Neumann, שגם נתן את הדוגמה המפורשת הראשונה לחבורה נוצרת סופית שאינה מ"ס.

לפי "משפט השיכון של Higman", חבורה נוצרת סופית אפשר לשכן בחבורה מוצגת סופית, אם ורק אם יש לה הצגה רקורסיבית.

ההגדרה

מתברר שהתנאי על סופיות מספר היחסים אינו תלוי בבחירת היוצרים: אם $G$ חבורה מוצגת סופית, אז לכל קבוצת יוצרים סופית של $G$ קיימת קבוצת יחסים סופית המגדירה את החבורה. קיומה של הצגה סופית היא תכונה גאומטרית: כל חבורה שהיא קוואזי-איזומטרית לחבורה מוצגת סופית, מוצגת סופית בעצמה.

דוגמאות עיקריות

כל הרחבה של חבורה מ"ס בחבורה מ"ס היא מ"ס בעצמה. כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית היא מ"ס. יתרה מזו, כל חבורה פולי-ציקלית נוצרת סופית היא מ"ס. מאידך, יש חבורות פתירות נוצרות סופית, שאינן מ"ס.

החבורה היסודית של כל יריעה חלקה קומפטית היא מ"ס. ולהפך: כל חבורה מ"ס היא החבורה היסודית של יריעה קומפקטית חלקה כלשהי מממד 4.

כל סריג בחבורת לי ממשית קשירה הוא מ"ס. לעומת זאת, החבורה $\operatorname {SL} _{3}(\mathbb {F} _{q}[t])$ אינה מ"ס לכל חזקת ראשוני $q$. החבורות $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {F} _{q}[t])$, $n\geq 4$, כן מוצגות סופית.

תכונות

אם $H$ תת-חבורה מאינדקס סופי של חבורה $G$, אז אחת מהן מ"ס אם ורק אם השנייה כזו. התהליך לחישוב היחסים של $H$ מתוך היחסים של $G$ נקרא אלגוריתם ריידמייסטר-שרייר.

בחבורות מוצגות סופית פשוטות, בעיית המילה פתירה. כך גם בכל חבורה מוצגת סופית שהיא residually finite; לעומת זאת יש חבורות נוצרות סופית עם הצגה רקורסיבית שהן residually finite אבל בעיית המילה בהן אינה פתירה.

החבורה המוצגת-סופית האוניברסלית

קיימת "חבורה מוצגת סופית אוניברסלית", שהיא חבורה מוצגת סופית, שכל חבורה מוצגת סופית איזומורפית לתת-חבורה שלה. יש גם חבורה מוצגת סופית שכל חבורה עם הצגה רקורסיבית משוכנת בה (Higman, 1961).

הדרגה וה'חיסרון'

הדרגה של חבורה מוצגת סופית שווה למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי עבורה. ידוע (Higman-Neumann-Neumann 1940) שכל חבורה מוצגת סופית אפשר לשכן בחבורה עם שני יוצרים ואותו מספר יחסים. החיסרון (deficiency) של חבורה מוצגת סופית הוא, לפי ההגדרה, ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין מספר היוצרים למספר היחסים שלה. כל החבורות בעלות חיסרון חיובי הן אינסופיות. כל חבורה בעלת חיסרון > 1 מכילה עותק של החבורה החופשית על שני יוצרים.

לקריאה נוספת

• Pierre de la Harpe, Topics in Goemtric Group Theory.