חבורת לי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה דיפרנציאלית ובאלגברה, חבורת לי היא יריעה חלקה עם מבנה של חבורה, כך שפעולות החבורה חלקות ביחס למבנה הגאומטרי (והדיפרנציאלי) של היריעה. חבורות לי הן אובייקטים גאומטריים ואלגבריים בו-זמנית, ובהתאם ניתן להוכיח עליהן טענות חזקות - הן גאומטריות והן אלגבריות, על ידי שילוב בין המבנה הגאומטרי והאלגברי שמוגדר בהן.

בחבורת לי כל הנקודות על היריעה הן גם איברים בחבורה, ואם נבצע את פעולת החבורה על שני איברים כלשהם a ו-b, ובמקביל נבצע את הפעולה על שני איברים המייצגים נקודות קרובות על גבי היריעה c ו-d, אז גם המכפלות יהיו נקודות קרובות על גבי היריעה, כלומר ab תהיה נקודה קרובה ל-cd.

חבורות לי קרויות על שם המתמטיקאי הנורבגי סופוס לי והוגדרו על ידו לראשונה בשנת 1870. לחבורות לי חשיבות רבה באנליזה מתמטית, בפיזיקה ובגאומטריה. בשנת 2007 פיזיקאי אמריקאי אנתוני גארט ליסי פרסם תאוריית איחוד על בסיס חבורות E8

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת לי היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות חלקות, כלומר - בהינתן יריעה חלקה שהיא גם חבורה G, נאמר ש-G היא חבורת לי אם פעולות הכפל וההופכי של החבורה הן פונקציות חלקות. לדוגמה - אוסף המטריצות הריבועיות ההפיכות - (GL(n,F מסדר כלשהו מהווה חבורת לי.

אלגברת לי של חבורת לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אלגברת לי

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: \mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G) = T_e G. לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההיפך איננו נכון. כך למשל, לאלגברת לי \mathfrak{so}_n מתאימות חבורות לי \mathrm{SO}_n, \mathrm{O}_n ו-\mathrm{Spin}_n. עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

את אלגבראות לי אפשר לאפיין באמצעות מערכות שורשים אותן אפשר לתאר גרפית באמצעות דיאגרמות דינקין.

מיון חבורות לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חבורת לי קשירה, פשוטת קשר ופשוטה למחצה, היא מכפלה של חבורות לי פשוטות. לכל חבורת לי פשוטה מתאימה אלגברת לי פשוטה המתוארת על ידי דיאגרמת דינקין. באמצעות מיון דיאגרמות דינקין אפשר למיין את כל חבורות לי הפשוטות. מסתבר שאת דיאגרמות דינקין של חבורות לי פשוטות אפשר לסווג ל-4 משפחות כלליות A_n, \ B_n , \ C_n , \ D_n ועוד 5 מקרים שלא נופלים באף משפחה: E_6, \ E_7 , \ E_8, \ F_4 , \ G_2. להלן דיאגרמות דינקין המתאימות:

Finite Dynkin diagrams.svg

  • הדיאגרמות מטיפוס A_n מתארות משפחת החבורות היוניטריות \mathrm{SU}(n+1).
  • הדיאגרמות מטיפוס B_n מתארות משפחת החבורות \mathrm{Spin}(2n+1) שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות \mathrm{SO}(2n+1).
  • הדיאגרמות מטיפוס C_n מתארות משפחת החבורות \mathrm{Sp}(2n) שהיא חבורה סימפלקטית.
  • הדיאגרמות מטיפוס D_n מתארות משפחת החבורות \mathrm{Spin}(2n) שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות \mathrm{SO}(2n).
  • החבורות שמתאימות לדיאגרמות E_6, \ E_7 , \ E_8, \ F_4 , \ G_2 לא נופלת באף משפחה לעיל ונקראות "חבורות לי ספורדיות".

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.