חלוקת יחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה ובגאומטריה דיפרנציאלית חלוקת יחידה היא אוסף של פונקציות אי שליליות ממרחב כלשהו שסכומן הוא זהותית אחד, כאשר כל פונקציה לא מתאפסת רק באזור קטן שמוגדר מראש. חלוקת יחידה משמשת להרחבת אלמנטים שמוגדרים באופן מקומי (רק על סביבה קטנה) לאלמנטים שמוגדרים באופן גלובלי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף פונקציות \left\{ \psi_i \right\} _{i \in I} ממרחב טופולוגי X למספרים הממשיים נקרא חלוקת יחידה אם מתקיימים שלושת התנאים:

  • לכל \ x \in X ולכל \ i \in I מתקיים \ 0\le\psi_i (x) \le 1.
  • לכל i התומך של \ \psi_i שהוא הסגור של קבוצת כל הנקודות בהן \ \psi_i לא מתאפס - הוא קומפקטי.
כלומר: \ supp(\psi_i)= cl \left\{ x \in X: \psi_i (x) \ne 0 \right\} היא קבוצה קומפקטית.
  • לכל \ x \in X קיימת סביבה U כך שלכל \ i \in I חוץ ממספר סופי של אינדקסים ולכל \ p \in U, \ \psi_i (p) = 0.
  • סכום כל הפונקציות הוא 1 בכל נקודה. מהדרישה הקודמת סכום זה הוא סופי בכל נקודה ולכן אין בעיה של התכנסות טורים:
\sum_{i \in I} \psi _i (x)  =1

כאשר נתון כיסוי \left\{ U_i \right\}_{i \in I}, אם לכל i קיים j כך שהתומך של הפונקציה ה-i מוכל בקבוצה ה-j בכיסוי, נאמר שחלוקת היחידה משועבדת לכיסוי. כאשר ההכלה היא יותר מדויקת כלומר לכל i, התומך של הפונקציה ה-i בחלוקת היחידה מוכל בקבוצה ה-i בכיסוי (או בסימונים \ supp( \psi _i) \subset U_i) נאמר שחלוקת היחידה משועבדת לכיסוי עם אותם אינדקסים.

אם כל הפונקציות בחלוקת היחידה הן פונקציות רציפות חלוקת היחידה נקראת חלוקת יחידה רציפה. ביריעה חלקה חלוקת יחידה היא חלקה (או C^\infty) אם כל הפונקציות שלה הן חלקות. בצורה דומה, ביריעה אנליטית חלוקת יחידה היא אנליטית אם כל הפונקציות שלה הן אנליטיות.

קיום[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלוקות יחידה טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנאי מספיק לקיום חלוקת יחידה במרחב טופולוגי נורמלי הוא שהמרחב יהיה פרקומפקטי. כך לדוגמה ליריעות הטופולוגיות כמעט תמיד יש חלוקת יחידה רציפה (למעט מספר מצבים פתלוגיים).