סגור (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:

.

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

  • היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
  • , כאשר היא הקבוצה הנגזרת של .
  • הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות הנוגעות לסגור[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
  • .
  • .
  • .
  • היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
  • אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
  • קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
  • קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.