כיסוי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיסוי של קבוצה X הוא משפחה של תת-קבוצות \mathcal{C} = \left\{C_\alpha \right\}_{\alpha \in A } המקיימת X \subset \bigcup_{\alpha \in A} C_\alpha.

משפחה \mathcal{C}' \subset \mathcal{C} נקראת תת-כיסוי, אם גם \mathcal{C}' מהווה כיסוי של X.

אם \mathcal{C}, \mathcal{D} זוג כיסויים של קבוצה כלשהי, אומרים כי \mathcal{C} הוא עידון של \mathcal{D}, אם לכל איבר D \in \mathcal{D} קיים איבר C \in \mathcal{C} המקיים C \subset D.

בטופולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהקשר הטופולוגי, הקבוצות החברות בכיסוי צריכות להיות קבוצות פתוחות. כיסוי של מרחב טופולוגי, לפיכך, מכונה כיסוי פתוח.

כיסוי פתוח \mathcal{C} = \left\{C_\alpha \right\}_{\alpha \in A } של מרחב טופולוגי X נקרא סופי נקודתית, אם כל x \in X שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. כמו כן הוא נקרא סופי מקומית, אם לכל x \in X קיימת סביבה פתוחה x \in U \subset X, כך שהקבוצה \left\{ \alpha \in A \mid C_\alpha \cap U \neq \emptyset \right\} סופית.

מושג הכיסוי משמש להגדרת מושגים יסודיים בטופולוגיה:

  • מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי סופי.
  • מרחב טופולוגי נקרא לינדלף, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי בן מניה.
  • מרחב טופולוגי נקרא מטא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי נקודתית.
  • מרחב טופולוגי נקרא פרא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי מקומית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן טריוויאלי, לכל קבוצה X, האוסף המנוון \left\{ X \right\} הוא כיסוי של X.

בנוסף, לכל תת-קבוצה Y \subset X, האוסף \left\{ Y, Y^c \right\} הוא כיסוי של X.

אם X קבוצה סדורה, אז לכל x,y \in X ניתן להגדיר C_{x,y} = \left\{ z \in X \mid x \leq z < y \right\}, ואז האוסף \left\{ C_{x,y} \right\}_{x,y \in X} מהווה כיסוי.

בהקשר הטופולוגי, המקרה האחרון הוא כיסוי פתוח שמוגדר להיות התת-בסיס של סיגמא-אלגברת בורל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]