כיסוי

במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.

הגדרה

כיסוי של קבוצה $X$ הוא משפחה של תת-קבוצות ${\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ המקיימת $X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }$.

משפחה ${\mathcal {C}}'\subset {\mathcal {C}}$ נקראת תת-כיסוי, אם גם ${\mathcal {C}}'$ מהווה כיסוי של $X$.

אם ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ זוג כיסויים של קבוצה כלשהי, אומרים כי ${\mathcal {C}}$ הוא עידון של ${\mathcal {D}}$, אם לכל איבר $C\in {\mathcal {C}}$ קיים איבר $D\in {\mathcal {D}}$ המקיים $C\subset D$.

בטופולוגיה

בהקשר הטופולוגי, הקבוצות החברות בכיסוי צריכות להיות קבוצות פתוחות. כיסוי של מרחב טופולוגי, לפיכך, מכונה כיסוי פתוח.

כיסוי פתוח ${\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ של מרחב טופולוגי $X$ נקרא סופי נקודתית, אם כל $x\in X$ שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. כמו כן הוא נקרא סופי מקומית, אם לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $x\in U\subset X$, כך שהקבוצה $\left\{\alpha \in A\mid C_{\alpha }\cap U\neq \emptyset \right\}$ סופית.

מושג הכיסוי משמש להגדרת מושגים יסודיים בטופולוגיה:

• מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי סופי.
• מרחב טופולוגי נקרא לינדלף, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי בן מניה.
• מרחב טופולוגי נקרא מטא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי נקודתית.
• מרחב טופולוגי נקרא פרא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי מקומית.

דוגמאות

באופן טריוויאלי, לכל קבוצה $X$, האוסף המנוון $\left\{X\right\}$ הוא כיסוי של $X$.

בנוסף, לכל תת-קבוצה $Y\subset X$, האוסף $\left\{Y,Y^{c}\right\}$ הוא כיסוי של $X$.

אם $X$ קבוצה סדורה, אז לכל $x,y\in X$ ניתן להגדיר $C_{x,y}=\left\{z\in X\mid x\leq z<y\right\}$, ואז האוסף $\left\{C_{x,y}\right\}_{x,y\in X}$ מהווה כיסוי.

בהקשר הטופולוגי, המקרה האחרון הוא כיסוי פתוח שמוגדר להיות התת-בסיס של סיגמא-אלגברת בורל.

ראו גם

• כיסוי בזיקוביץ'