בור פוטנציאל אינסופי

התנהגות של חלקיק בקופסה לפי חוקי ניוטון של המכניקה הקלאסית (A), ולפי משוואת שרדינגר של המכניקה הקוונטית (B-F). בהמחשות (B-F), הציר האופקי הוא המיקום, והציר האנכי הוא החלק הממשי (בכחול) והמדומה (באדום) של פונקציית הגל. המצבים (B,C,D) הם מצבים עצמיים טהורים של האנרגיה, בעוד (E,F) הם מצבים מעורבים.

בור פוטנציאל אינסופי או "חלקיק בקופסה" הוא מודל תאורטי שנועד לפשט את משוואות מכניקת הקוונטים. דפנות הקופסה התאורטית עשויים מאנרגיה פוטנציאלית אינסופית והחלקיק לא יכול לעבור דרכם, אף לא על ידי מינהור קוונטי. בתוך הקופסה האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס, והחלקיק חופשי לנוע בתוכה בלי השפעת שום כוח עליו. קופסה כזאת היא בור פוטנציאל אינסופי, בניגוד לבור פוטנציאל סופי - אזור במרחב שבו האנרגיה הפוטנציאלית נמוכה יותר מאשר זו שמחוץ לו, אך עדיין קיימת הסתברות למצוא את החלקיק מחוץ לבור. בור פוטנציאל סופי יכול גם לתאר אזור של מינימום מקומי בפוטנציאל שבו החלקיק קשור.

במודל נעשה שימוש כדוגמה היפותטית שנועדה להמחיש את ההבדלים בין מערכות קלאסיות לקוונטיות. לדוגמה, במערכות קלאסיות, חלקיק הלכוד בתוך קופסה יכול לנוע בכל מהירות בתוך הקופסה ואין עדיפות למיקומים מסוימים על פני האחרים. עם זאת, כאשר הבור נהיה צר מאוד (בקנה המידה של מספר ננומטרים), אפקטים קוונטיים הופכים למשמעותיים. החלקיק עשוי כעת לאחסן רק רמות אנרגיה חיוביות מסוימות. בהתאם לכך, הוא לעולם לא יכול להיות בעל אנרגיה אפס, ופירוש הדבר שהוא לא יכול "לשבת במקומו". בנוסף, ישנה סבירות גבוהה יותר למצוא אותו במיקומים מסוימים מאשר במקומות אחרים, כאשר פונקציית הסבירות תלויה ברמת האנרגיה שלו. את החלקיק לעולם לא ניתן למצוא במיקומים מסוימים, הידועים כנקודות צומת.

במציאות קיימים רק בורות פוטנציאל סופיים, אך פתרון בעיית הבור האינסופי הוא פשוט והוא משמש לעיתים קרובות ביישומים מעשיים משום שהוא מהווה קירוב טוב לבור הפוטנציאל האמיתי (בור פוטנציאל סופי מצריך פתרון של משוואה טרנסצנדנטלית, שאינה פתירה אנליטית). סיבה נוספת לשימוש בקירוב זה היא הפיכת מרחב הילברט של מצבי החלקיק למרחב ספרבילי על ידי מעבר מבסיס מקום רציף (של מרחב אינסופי) לבסיס מקום בן מנייה (של מרחב סופי וחסום).

חלקיק בקופסה חד־ממדית

איור סכמטי של חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי.

הפתרון לפונקציית הגל

בור פוטנציאל אינסופי המגדיר במרחב אזור סופי שרק בתוכו החלקיק יכול להימצא ובו הוא נע באופן חופשי (ללא השפעת כוח כלשהו) יהיה מהצורה כללית הבאה:

$\ V({\vec {r}})=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}{\vec {r}}\in S\\\infty &{\mbox{if }}{\vec {r}}\notin S\end{matrix}}\right.$

פוטנציאל המגדיר בור פוטנציאל במימד אחד יכול להיות מהצורה:

$\ V(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}0<x<L\\\infty &{\mbox{if }}x\leq 0,x\geq L\end{matrix}}\right.$

פונקציית צפיפות ההסתברות למציאת החלקיק בנקודה x נתונה על ידי $\left|\psi \right|^{2}$, כאשר $\psi$ פונקציית הגל המקיימת את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

כאשר $\hbar$ קבוע הפלאנק המצומצם, m מסת החלקיק ו-E האנרגיה שלו.

הפתרון מחייב התאפסות של $\ \psi (x)$ באזורים שבהם הפוטנציאל הוא אינסופי, ובפרט בדפנות הקופסה. בתוך הבור, הפוטנציאל הוא אפס ומשוואת שרדינגר היא:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)=E\psi (x)$

הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא מהצורה:

$\ \psi (x)=A\sin {(kx)}+B\cos {(kx)}$

כאשר A,B קבועים כלשהם ו-$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$.

תנאי השפה של התאפסות של $\ \psi (x)$ בקצוות מאלצים את הפתרון:

$\ \psi _{n}(x)={\sqrt {2/L}}\sin {(n\pi x/L)}$

כאשר הקבוע $A={\sqrt {2/L}}$ קובע את ההסתברות השלמה להיות 1, ומתנאי השפה: B=0 ו-$k=n\pi /L$ כאשר n מספר טבעי. זהו הביטוי לפונקציות הגל העצמיות בתוך הבור, ומחוץ לבור הן מתאפסות. לכל פונקציה עצמית מתאימה אנרגיה עצמית:

$\ E_{n}={\frac {h^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{L^{2}}}$

כלומר, האנרגיות האפשריות של חלקיק שמצוי בבור פוטנציאל אינסופי הן בדידות כתוצאה מכך שמספרי הגל האפשריים של פונקציית הגל חייבים להיות כאלה שמאפסים אותה בקצוות הבור. זאת, לעומת מכניקה קלאסית בה החלקיק נע במהירות קבועה ומוחזר מהקירות בהתנגשויות אלסטיות באופן מחזורי, ויכול לקבל כל אנרגיה קינטית. כמו כן לא ניתן למצוא את החלקיק בנקודות מסוימות, הנקראות (בהשאלה מתורת הגלים) נקודות צומת. הסבר אינטואיטיבי לכך הוא שבמסגרת התיאור הגלי של חלקיקים במכניקת הקוונטים, חלקיקים יכולים להתאבך עם עצמם, כאשר במקרה של בור פוטנציאל אינסופי ישנה התאבכות הורסת של פונקציית הגל הפוגעת והמוחזרת (מקצות הבור) באותן נקודות צומת, בדומה לגלים העומדים הקלאסיים המוכרים מחיי היום יום.

בור פוטנציאל דו־ממדי ותלת־ממדי

באותו אופן, בעזרת הפרדת משתנים, ניתן למצוא פתרון עבור בור דו־ממדי ובור תלת־ממדי

המקרה הדו־ממדי:

$\psi _{n_{x},n_{y}}={\sqrt {\frac {4}{L_{x}L_{y}}}}\sin \left(k_{n_{x}}x\right)\sin \left(k_{n_{y}}y\right)$,

$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}}$,

$={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}\right]\,\!$

כאשר k הוא וקטור גל

$\mathbf {k_{n_{x},n_{y}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}}$.

המקרה התלת־ממדי:

$\psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\sqrt {\frac {8}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}\sin \left(k_{n_{x}}x\right)\sin \left(k_{n_{y}}y\right)\sin \left(k_{n_{z}}z\right)$,

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}}$,

$={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{z}}{L_{z}}}\right)^{2}\right]\,\!$

כאשר

$\mathbf {k_{n_{x},n_{y},n_{z}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}}$.

יש לשים לב שפעמים רבות, הפתרונות האלו מנוונים - כלומר, ישנם שני וקטורי גל שונים שנותנים את אותה אנרגיה.

ראו גם

• משוואת שרדינגר
• תורת שטורם-ליוביל
• בור פוטנציאל קוונטי
• בור פוטנציאל סופי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בור פוטנציאל אינסופי בוויקישיתוף