טווח (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה, הטווח של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן יחידות כמו הנתונים.

בסטטיסטיקה תיאורית, טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי.

התפלגות טווח של מדגם מקרי

עבור $n$ משתנים מקריים $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ נסמן ב- $T$ את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י,

$T=Max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-Min(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ .

מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה- $n$ והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, ${\textstyle T=X_{(n)}-X_{(1)}}$ .

התפלגות

עבור $n$ משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ עם פונקציית התפלגות רציפה בהחלט $F(x)$ ופונקציית צפיפות $f(x)$

לטווח $T$ , יש את פונקציית ההתפלגות,

${\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x}$ .

פונקציית הצפיפות

אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות,

f_{T}(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x

תוחלת

תוחלת הטווח ניתנת על ידי

E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x

.

הוכחה

נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה- $n$ ) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום.

$E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)}]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)}]$

$=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)F(x)^{n-1}dx-n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(1-F(x))^{n-1}dx$

מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.

מ.ש.ל

כאשר פונקציית הצפיפות $f$ דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת $\lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(x)=0$ וגם $\lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(-x)=0$ , אז מתקיים,

$E[T]=\int _{-\infty }^{\infty }\left[1-F(x)^{n}-(1-F(x))^{n}\right]{\text{d}}x$

הוכחה

הראינו כי

$E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x$

מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי,

$=\lim _{u\rightarrow \infty }n\int _{-u}^{u}x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x$

אינטגרציה בחלקים,

$=\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}-\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{-u}^{u}[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]{\text{d}}x$

נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,

$\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}$

$=\lim _{u\rightarrow \infty }u[F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}-1]+u[F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}-1]$

$=\lim _{u\rightarrow \infty }u\left(F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}\right)$

$=\lim _{u\rightarrow \infty }{\frac {F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}}{1/u}}$

נפעיל את כלל לופיטל,

$=\lim _{u\rightarrow \infty }n{\frac {f(u)\left[F(u)^{n-1}-(1-F(u))^{n-1}\right]+f(-u)\left[F(-u)^{n-1}-(1-F(-u))^{n-1}\right]}{-1/u^{2}}}$

על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, $\lim _{u\rightarrow \infty }F(u)=1$ ו- $\lim _{u\rightarrow \infty }F(-u)=0$ , ועל סמך הנתון כי $\lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(u)=0$ ו- $\lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(-u)=0$ נקבל את התוצאה המבוקשת,

$=\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(u)\left[(1-F(u))^{n-1}-F(u)^{n-1}\right]+\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(-u)\left[(1-F(-u))^{n-1}-F(-u)^{n-1}\right]=0$