כלל לופיטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל לופיטל הוא כלל המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה \textstyle \frac{ \infty}{ \infty} או \textstyle  \frac{0}{0}, באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי. טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה \ 0 \cdot \infty ,\ 1^{\infty} או \ \infty^0.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו המרקיז דה לופיטל היה הראשון לפרסם אותו בספר.

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה \textstyle  \frac{0}{0})[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0. אם הגבול \,L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל L.

הוכחה (עבור גבול מהצורה \textstyle  \frac{0}{0})[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל \epsilon קיים \delta כך שלכל x כך ש 0<|x-a|<\delta מתקיים L- \epsilon <\frac{f'(x)}{g'(x)} < L + \epsilon ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי

L- \epsilon < \frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)} < L + \epsilon לכל x_1,x_2 המקיימים 0<|x_1-a|<\delta\,\,\, ,0<|x_2-a|<\delta.

אם נשאיר את x_1 קבוע ואת x_2 נשאיף לa נקבל

L- \epsilon \leq \lim_{x_2\to a} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)} = \frac {f(x_1)}{g(x_1)}\leq L + \epsilon

כלומר, L- 2\epsilon <  \frac {f(x_1)}{g(x_1)} < L + 2\epsilon כאשר 0 < |x_1 - a| < \delta.

לכן, \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L. מש"ל.

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה \textstyle \frac{ \infty}{ \infty})[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim_{x\to a} f(x)= \pm \infty, \lim_{x\to a} g(x)= \pm \infty. אם הגבול \,L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל L.

הוכחה (עבור גבול מהצורה \textstyle \frac{ \infty}{ \infty})[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל \epsilon קיים \delta כך שלכל x כך ש 0<|x-a|<\delta מתקיים L- \epsilon <\frac{f'(x)}{g'(x)} < L + \epsilon ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי

L- \epsilon < \frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)} < L + \epsilon לכל x_1,x_2 המקיימים 0<|x_1-a|<\delta\,\,\, ,0<|x_2-a|<\delta.

נגדיר \beta(x_1,x_2)= \frac{g(x_1)}{g(x_1)-g(x_2)} \cdot \frac{f(x_1)-f(x_2)}{f(x_1)}

נשים לב שאם נשאיר את x_2 קבוע ואת x_1 נשאיף לa נקבל \lim_{x_1\to a} \beta(x_1,x_2) = 1.

נשים לב ש \beta(x_1,x_2) \cdot \frac{f(x_1)}{g(x_1)}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)}

מכאן קל להוכיח שעבור x_2 קבוע המקיים 0<|x_2-a|<\delta קיים \delta > \delta_1 כך שלכל x_1 כך ש 0<|x_1-a|<\delta_1 מתקיים \beta(x_1,x_2) >0 וכן,

L-2\epsilon<\frac{L- \epsilon} {\beta(x_1,x_2)} < \frac{f(x_1)}{g(x_1)}< \frac {L + \epsilon} {\beta(x_1,x_2)}<L+2\epsilon

לכן, \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L

גבולות נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה 0\cdot\infty, 1^\infty: נניח כי \ f(x)\rarr 0, g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)

אז f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\rarr\frac{0}{0},f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\rarr\frac{\infty}{\infty}

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי \ f(x)\rarr 1,g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}.

אז מתקיים:

\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}\exp{\left( \ln(f(x)^{g(x)}) \right) }=
\exp{\left( \lim_{x \to a}g(x)\ln{f(x)} \right)}

וכעת יש במעריך גבול מהצורה 0\cdot\infty שבו כבר יודעים לטפל.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לכל n טבעי, נחשב את הגבול xn חלקי ex כאשר x שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:
\ \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty}\frac{n!}{e^x} = 0
זאת כי \ \left( e^x \right) ' = e^x והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.
  • דוגמה נוספת:
\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1)^2 }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 2(x-1) }{1/x } = 0
זאת כי \ \left( \ln x \right) ' = 1/x.
  • דוגמה נוספת:
\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1) }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 1 }{1/x } = 1
בכך הוכחנו שעבור מספרים \ u << 1 מתקיים \ \ln(1+u) \approx u.
  • לא תמיד כדאי להשתמש בכלל לופיטל, למשל בדוגמה שלהלן:
\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
מאחר ש elnx=x אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:
\ \left( e^{\ln x} \right) ' = e^{\ln x} / x ו \ (x)' = 1
אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:
\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}/x}{1} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.
  • יש להיזהר גם מהוכחות מעגליות. למשל מפתה לחשב את הגבול הבא לפי כלל לופיטל:
\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}
מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל מכלל לופיטל:
\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1}=1
אולם זוהי הוכחה מעגלית שאינה תקפה, מכיוון שכדי להוכיח כי קוסינוס הוא הנגזרת של סינוס, עושים שימוש בגבול זה (תלוי כמובן באיך מגדירים את סינוס). לכן יש להוכיחו קודם ישירות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]