כלל לופיטל

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל לוֹפּיטָל (L'Hôpital) הוא משפט המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$ או $\textstyle {\frac {0}{0}}$, באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי. טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה $\ 0\cdot \infty$ או חזקה מהצורה $\ 1^{\infty }$ או $\ \infty ^{0}$.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו, המרקיז דה לופיטל, היה הראשון שפרסם אותו בספר.

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה $\textstyle {\frac {0}{0}}$)

נניח כי $f\left(x\right)$ ו-$g\left(x\right)$ הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או $\ \pm \infty$), וש-$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$ וגם $g'(x)\neq 0$ לכל $x$ בסביבה. אם הגבול $\,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ קיים, אז גם הגבול $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ קיים, ושווה ל־$L$.

הוכחה

לכל $0<\varepsilon$ קיים $0<\delta$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon$ ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי:

$L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon$ לכל $x_{1},x_{2}$ המקיימים $|x_{1}-a|<\delta \,\,\,,|x_{2}-a|<\delta$.

אם נשאיר את $x_{1}$ קבוע ואת $x_{2}$ נשאיף ל$a$ נקבל

$L-\varepsilon \leq \lim _{x_{2}\to a}{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}={\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}\leq L+\varepsilon$

כלומר, $L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<L+\varepsilon$ כאשר $|x_{1}-a|<\delta$.

לכן, $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$. מש"ל.

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$)

נניח כי $f\left(x\right)$ ו-$g\left(x\right)$ הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או $\ \pm \infty$), וש-$\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty ,\lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty$ וגם $g'(x)\neq 0$ לכל $x$ בסביבה. אם הגבול $\,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ קיים, אז גם הגבול $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ קיים, ושווה ל־$L$.

הוכחה

לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon$ ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים:

$L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon$ לכל $x_{1},x_{2}$ המקיימים $0<|x_{1}-a|<\delta \,\,\,,0<|x_{2}-a|<\delta$.

נגדיר:

$\beta (x_{1},x_{2})={\frac {g(x_{1})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}\cdot {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{f(x_{1})}}$

כמו כן מתקיים:

$\beta (x_{1},x_{2})\cdot {\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}$

אם נשאיר את $x_{2}$ קבוע ואם יהיה $x_{1}\rightarrow a$ נקבל $\lim _{x_{1}\to a}\beta (x_{1},x_{2})=1$.

מכאן קל להוכיח שעבור $x_{2}$ קבוע המקיים $0<|x_{2}-a|<\delta$ קיים $\delta >\delta _{1}$ כך שלכל $x_{1}$ כך שעבור $0<|x_{1}-a|<\delta _{1}$ מתקיים $\beta (x_{1},x_{2})>0$ וכן:

$L-2\varepsilon <{\frac {L-\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<{\frac {L+\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<L+2\varepsilon$

ולכן:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$

גבולות נוספים

בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה $0\cdot \infty ,1^{\infty }$: נניח כי $\ f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow \infty$ ואנו רוצים לחשב את $\lim _{x\to a}f(x)\cdot g(x)$

אז $f(x)\cdot g(x)={\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}\rightarrow {\frac {0}{0}},f(x)\cdot g(x)={\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}\rightarrow {\frac {\infty }{\infty }}$

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי $\ f(x)\rightarrow 1,g(x)\rightarrow \infty$ ואנו רוצים לחשב את $\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}$.

אז מתקיים:

$\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}\exp {\left(\ln(f(x)^{g(x)})\right)}=\exp {\left(\lim _{x\to a}g(x)\ln {f(x)}\right)}$

וכעת יש במעריך גבול מהצורה $0\cdot \infty$ שבו כבר יודעים לטפל.

דוגמאות

• לכל n טבעי, נחשב את הגבול $x^{n}$ חלקי $e^{x}$ כאשר $x$ שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:

$\ \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=\cdots =\lim _{x\to \infty }{\frac {n!}{e^{x}}}=0$

זאת כי $\ \left(e^{x}\right)'=e^{x}$ והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.

• דוגמה נוספת:

$\ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)^{2}}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2(x-1)}{1/x}}=0$

זאת כי $\ \left(\ln x\right)'=1/x$.

• דוגמה נוספת:

$\ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1/x}}=1$

בכך הוכחנו שעבור מספרים $\ u<<1$ מתקיים $\ \ln(1+u)\approx u$.

• השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:

$\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}$

מאחר ש־$e^{\ln {x}}=x$ אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:

$\ \left(e^{\ln x}\right)'=e^{\ln x}/x$ ו־$\ (x)'=1$

אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:

$\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}/x}{1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}$

כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.

• יש להיזהר מהוכחות מעגליות. למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול $\ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$ בעזרת כלל לופיטל.

מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל:

$\ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}=1$

אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x, מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים.

ראו גם

• גבול (מתמטיקה)
• נגזרת
• משפט שטולץ

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כלל לופיטל בוויקישיתוף

• הוכחה לכלל לופיטל באתר Planet Math (באנגלית)
• כלל לופיטל, באתר MathWorld (באנגלית)