פונקציות הצפיפות של סטטיסטי הסדר עבור מדגם בגודל n = 5 מהתפלגות מעריכית עם פרמטר
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
בסטטיסטיקה , סטטיסטי הסדר ה -
k
{\displaystyle k}
מדגם מקרי שווה לערך ה-
k
{\displaystyle k}
בגודלו של המדגם. סטטיסטים הממבוססים על דרגות ועל סטטיסטי הסדר הם בין הכלים הבסיסיים ביותר בסטטיסטיקה א-פרמטרית .
דוגמאות חשובות לסטטיסטי סדר ולסטטיסטים המבוססים עליהם הם המינימום והמקסימום של המדגם, החציון ורבעונים אחרים.
לדוגמה, נניח שנתון לנו מדגם אקראי עם ארבעה ערכים
8
,
3
,
9
,
6
{\displaystyle 8,3,9,6}
סטטיסטי הסדר הם
x
(
1
)
=
3
,
x
(
2
)
=
6
,
x
(
3
)
=
8
,
x
(
4
)
=
9
{\displaystyle x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9\,}
כאשר
X
(
i
)
{\textstyle X_{(i)}}
סטטיסטי הסדר הראשון (או סטטיסטי הסדר הקטן) הוא המינימום של המדגם,
X
(
1
)
=
min
{
X
1
,
…
,
X
n
}
{\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}
כאשר, בהתאם למוסכמות, אנחנו מסמנים משתנים מקריים באותיות גדולות ותוצאות נתונות של המדגם באותיות קטנות.
באופן דומה, עבור מדגם בגודל
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
X
(
n
)
=
max
{
X
1
,
…
,
X
n
}
.
{\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.}
הטווח של המדגם הוא ההפרש בין המקסימום למינימום. הטווח הוא פונקציה של סטטיסטי הסדר:
R
a
n
g
e
{
X
1
,
…
,
X
n
}
=
X
(
n
)
−
X
(
1
)
.
{\displaystyle {\rm {Range}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.}
חציון המדגם הוא סטטיסטי סדר כאשר גודל המדגם אי זוגי מאחר שיש ערך אמצעי יחיד בין ערכי המדגם. כלומר, אם
n
=
2
m
+
1
{\displaystyle n=2m+1}
מספר שלם לא שלילי
m
{\displaystyle m}
X
(
m
)
{\displaystyle X_{(m)}}
n
{\displaystyle n}
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
m
{\displaystyle m}
מספר טבעי ) וישנם שני ערכי אמצע,
X
(
m
)
{\displaystyle X_{(m)}}
X
(
m
+
1
)
{\textstyle X_{(m+1)}}
שברוני המדגם .
דוגמה חשובה בסטטיסטיקה תיאורית הוא הטווח הבין רבעוני שגם הוא פונקציה של סטטיסטי סדר.
פונקציות ההתפלגות והצפיפות של סטטיסטי סדר [ עריכת קוד מקור | עריכה ] בהינתן מדגם מקרי,
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
משתנים מקריים בלתי תלויים רציפים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
k
{\displaystyle k}
F
X
(
k
)
(
x
)
=
∑
j
=
k
n
(
n
j
)
[
F
X
(
x
)
]
j
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
{\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}
אם בנוסף,
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
רציפה בהחלט ולכן גזירה , קיימת פונקציית צפיפות :
f
X
(
x
)
=
F
X
′
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)=F'_{X}(x)}
במקרה כזה פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה-
k
{\displaystyle k}
f
X
(
k
)
(
x
)
=
n
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
f
X
(
x
)
[
F
X
(
x
)
]
k
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
k
{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}}
הוכחה:
לכל משתנה מקרי
X
i
{\displaystyle X_{i}}
I
i
{\displaystyle I_{i}}
I
i
=
1
{\displaystyle I_{i}=1}
X
i
≤
x
{\displaystyle X_{i}\leq x}
I
i
=
0
{\displaystyle I_{i}=0}
Y
=
∑
i
=
0
n
I
i
{\displaystyle Y=\sum _{i=0}^{n}I_{i}}
Y
{\displaystyle Y}
x
{\displaystyle x}
Y
≥
k
{\displaystyle Y\geq k}
X
(
k
)
≤
x
{\displaystyle X_{(k)}\leq x}
Y
{\displaystyle Y}
משתנה בינומי ,
Y
∼
B
i
n
(
n
,
F
X
(
x
)
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (n,F_{X}(x))}
F
X
(
x
)
=
Pr
(
X
i
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X_{i}\leq x)}
k
{\displaystyle k}
F
X
(
k
)
(
x
)
=
Pr
(
X
(
k
)
≤
x
)
=
Pr
(
Y
≥
k
)
=
∑
j
=
k
n
(
n
j
)
[
F
X
(
x
)
]
j
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
{\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\Pr(X_{(k)}\leq x)=\Pr(Y\geq k)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}
אם
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
k
{\displaystyle k}
F
X
(
k
)
′
(
x
)
=
f
X
(
x
)
[
∑
j
=
k
n
(
n
j
)
j
[
F
X
(
x
)
]
j
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
−
∑
j
=
k
n
−
1
(
n
j
)
(
n
−
j
)
[
F
X
(
x
)
]
j
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
−
1
]
{\displaystyle F'_{X_{(k)}}(x)=f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}j[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\binom {n}{j}}(n-j)[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]}
נציב את נוסחת הבינום בשני הסכומים,
=
f
X
(
x
)
[
∑
j
=
k
n
n
!
(
j
−
1
)
!
(
n
−
j
)
!
[
F
X
(
x
)
]
j
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
−
∑
j
=
k
n
−
1
n
!
j
!
(
n
−
j
−
1
)
!
[
F
X
(
x
)
]
j
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
−
1
]
{\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\frac {n!}{j!(n-j-1)!}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]}
נרשום בסכום מימין
j
−
1
{\displaystyle j-1}
j
{\displaystyle j}
=
f
X
(
x
)
[
∑
j
=
k
n
n
!
(
j
−
1
)
!
(
n
−
j
)
!
[
F
X
(
x
)
]
j
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
−
∑
j
=
k
+
1
n
n
!
(
j
−
1
)
!
(
n
−
j
)
!
[
F
X
(
x
)
]
j
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
j
]
{\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k+1}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}\right]}
הכל מצטמצם פרט לאיבר הראשון בסכום השמאלי,
=
n
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
f
X
(
x
)
[
F
X
(
x
)
]
k
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
k
{\displaystyle ={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}}
מ.ש.ל
![{\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323c368983336008695772bca445b218a9df7604)
![{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536d1318ae36c5efab3d3864c07a99b3cd6972c1)
![{\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\Pr(X_{(k)}\leq x)=\Pr(Y\geq k)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12af19294d7fc8407d5981630ad046e64b68dd37)
![{\displaystyle F'_{X_{(k)}}(x)=f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}j[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\binom {n}{j}}(n-j)[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51785a8760f58b26e0adbd7ef2455c6b53cc2340)
![{\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\frac {n!}{j!(n-j-1)!}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75eab145afdf46d9dc28d4bb4a50d0e7c99ff01a)
![{\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k+1}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db326fdbe51a4d422239420e73c81edd5e072650)
![{\displaystyle ={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea1cc2aaa5c5149d42141310b277f2edc0b148a)
