מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה: חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי
∫
0
1
d
x
x
t
{\displaystyle \int _{0}^{1}{{\,\mathrm {d} x} \over {x^{t}}}}
t
<
1
{\displaystyle t<1\,}
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
מתכנס בהחלט . קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית. (במובן המוכלל).
תהא
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
b
>
d
>
a
{\displaystyle b>d>a\,}
∫
a
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{d}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
d
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{d}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע פתוח אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.
תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה :
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
w
>
v
{\displaystyle w>v\,}
(
b
−
δ
,
b
)
{\displaystyle (b-\delta ,b)\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
b
{\displaystyle b\,}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
אם
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
קיימות הכללות למשפט זה עבור
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
(
−
∞
,
b
]
{\displaystyle (-\infty ,b]\,}
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
x
→
b
−
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
t
→
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה:
האינטגרל
∫
0
∞
d
x
1
+
x
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}}
lim
t
→
∞
∫
0
t
d
x
1
+
x
2
=
lim
t
→
∞
arctan
t
=
π
2
,
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},}
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
מתכנס בהחלט . גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
M
>
a
{\displaystyle \ M>a\,}
w
>
v
>
M
{\displaystyle w>v>M\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
b
∈
[
a
,
∞
)
{\displaystyle b\in [a,\infty )}
x
>
b
{\displaystyle x>b}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
אם
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן , ובזה כוחו.
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
פונקציות בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
מונוטונית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
g
{\displaystyle g\,}
אינטגרבילית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
הפונקציה
G
(
x
)
=
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \textstyle G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
בתנאים אלו האינטגרל
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
פונקציות בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
מונוטונית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
L
{\displaystyle L}
g
{\displaystyle g\,}
אינטגרבילית בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
∫
a
∞
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(t)\,\mathrm {d} t}
בתנאים אלו האינטגרל
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
על פי הנתונים נקבל כי:
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
+
L
)
d
x
=
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
)
d
x
+
L
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L+L)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x+L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
כעת כפי שניתן לראות,
∫
a
∞
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
L
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x}
L
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}
![{\displaystyle (a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6233d4b1bbd83be4a31381ab72411a5c0659d45)
![{\displaystyle (-\infty ,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeea7c42b58347b5553a668e5003c8b3e711a8c6)
