קואורדינטות קוטביות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם
המחשת קואורדינטות קוטביות
מערכת קואורדינטות קוטבית.
המעגלים הם:  \ r=1, \text{ } r=2, \text{ } r=3 .
הקווים הישרים הם:  \ \theta = 30^\circ,\ \theta=60^\circ וכן הלאה.

קואורדינטות קוטביות או קואורדינטות פולריות הן תיאור של המישור באמצעות שני משתנים:

  • r - המרחק מראשית הצירים.
  • θ - הזווית שיוצר הוקטור המחבר בין הנקודה לראשית הצירים, עם הכיוון החיובי של ציר ה-x.

קואורדינטות פולריות הן מקרה פרטי של קואורדינטות גליליות עבור גובה = 0, ומקרה פרטי של קואורדינטות כדוריות עבור זווית לטידיוד = 90 מעלות.

המרה בין קואורדינטות פולריות לקואורדינטות קרטזיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור נקודה כללית (x,y) ניתן להמיר לקואורדינטות פולריות על ידי

\ r = \sqrt{x^2 + y^2}
\ \theta = \arctan{(y/x)} (להמרה מדויקת יותר, ראו בהמשך)

לחלופין, כאשר נתונים (r,θ) אפשר להמיר לקואורדינטות קרטזיות על ידי

\ x = r \cos \theta
\ y = r \sin \theta

מציאת הזווית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל למצוא את הזווית באופן גרפי, אך חישובה באופן אלגברי מסובך יותר. ראשית, יש לקבוע אילו ערכים הזווית יכולה לקבל, כאשר עלינו לזכור שישנה מחזוריות של \ 2 \pi מכיוון ש-θ מייצגת זווית.

בדרך כלל בוחרים לעבוד באינטרוול \ [ 0, 2 \pi ), כלומר, הזווית מקבלת ערכים בין 0 ל-2π (לא כולל 2π). אזי ניתן למצוא את הזווית לפי הנוסחה הבאה:

\ \theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}

כאשר arctan היא הפונקציה ההופכית לפונקציה הטריגונומטרית טנגנס.

אם עובדים באינטרוול \ (-\pi, \pi], יש להשתמש בנוסחה הבאה:

\ \theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}

וקטורי היחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ

\ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y}

כאשר \ \hat{e}_i \ , \ i = \{ x, y \} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור המצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל 1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בציר y.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות פולריות:

\ \vec{A} = A_r \hat{e}_r + A_\theta \hat{e}_\theta

כאשר לוקטורים \ \hat{e}_j \ , \ j = \{ r , \theta \} נקרא "וקטורי היחידה הפולריים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב (פרט לראשית) ולקבל שהם נתונים על ידי

\ 
 \begin{matrix}
 \hat{r} = \hat{e}_r & = & ( \cos\theta ) \hat{x} & + ( \sin\theta) \hat{y} \\
 \hat{\theta} = \hat{e}_\theta & = & ( - \sin\theta) \hat{x} & + ( \cos\theta ) \hat{y} \\
 \end{matrix}

כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

קואורדינטות פולריות ומספרים מרוכבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור של מספר מרוכב המשורטט בעזרת נוסחת אוילר

כל מספר מרוכב ניתן לייצג כנקודה במישור המרוכב ולכן ניתן לבטאו או באמצעות קואורדינטות קרטזיות

\ z = x + i y

או באמצעות קואורדינטות פולריות

\ z = r \cos \theta + i r \sin \theta = r e^{i \theta}

כאשר המעבר האחרון נעשה לפי נוסחת אוילר: \ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta והזווית נמדדת ברדיאנים.

באמצעות ההצגה הפולרית קל לבצע כפל, חילוק וחזקות של מספרים מרוכבים.

\ r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
\ \frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
\ (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

עקומות בקואורדינטות פולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשוואה המגדירה עקומה אלגברית המבוטאת בקואורדינטות פולריות נקראת "משוואה פולרית" (Polar equation). במקרים רבים, ניתן לתארה בפשטות על ידי הגדרת \ r כפונקציה של הזווית θ. העקומה המתקבלת מורכבת מנקודות מהצורה \ \left( r \left( \theta \right), \theta \right) ואפשר להתייחס אליה כאל הגרף של הפונקציה הפולרית \ r.

ניתן להסיק צורות שונות של סימטריה מהמשוואה של הפונקציה הפולרית \ r. אם \ r(\theta) = r(-\theta) אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר-x (הקרן (0°/180°)). אם \ r(\pi - \theta) = r(\theta) אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר y (הקרן (90°/270°)). אם \ r(θ−α°) = \ r(θ) העקומה תהיה סימטרית סביב הציר בזווית °α כנגד כיוון השעון.

בגלל הטבע הציקלי-מעגלי של מערכת קואורדינטות פולריות, עקומות רבות ניתן לתאר באמצעות משוואה פולרית די פשוטה, כאשר הצורה הקרטזית היא הרבה יותר מסובכת. בין העקומות הידועות מסוג זה נמנות הספירלה הארכימדית, השושן הפולרי, הלמניסקייט של ברנולי, הלימצון והקרדיואיד.

עבור מעגל, קו ושושן פולרי, אין הגבלה על התחום והטווח של העקומה.

מעגל[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעגל עם המשוואה \ r(\theta) = 1

המשוואה הכללית עבור מעגל שמרכזו נמצא ב(\ r0, φ) ורדיוסו a היא

\ r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\, .

ניתן לפשט משוואה זו עבור מקרים פרטיים, כמו למשל

\ r(\theta)=a \,

עבור מעגל שמרכזו בראשית הצרים ורדיוס a.

קו ישר[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישר העובר דרך ראשית הצירים ניתן לייצג באמצעות המשוואה

\ \theta = \varphi \,,

כאשר φ היא זווית השיפוע של הקו (בנוסחה m = \tan = \varphi כאשר m הוא השיפוע במשוואה בקואורדינטות קרטזיות).

המשוואה של ישר שאינו עובר דרך ראשית הצירים שניצב לישר θ = φ וחותך אותו בנקודה (\ r0, φ) היא

\ r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,.

שושן פולרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

שושן פולרי הוא עקומה מתמטית מפורסמת שנראית כמו עלי כותרת של פרח, וניתן לבטאה באמצעות משוואה פולרית פשוטה

\ r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

לכל קבוע \ \phi_0 , כולל 0. אם k הוא מספר טבעי, המשוואה תיצור פרח עם k עלי כותרת כאשר k אי-זוגי ופרח עם 2k עלי כותרת כאשר k זוגי. אם k מספר רציונלי לא שלם, יווצר פרח דמוי ורד שבו עלי הכותרת חופפים זה את זה. המשוואות לעולם לא מגדירות ורד עם 2, 6, 10, 14 וכו' עלי כותרת. המשתנה a מייצג את אורך עלי הכותרת של השושן.

ספירלת ארכימדס[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרוע אחת של ספירלת ארכימדס של המשוואה (a=0, b=1):
\ r(\theta )=\frac{\theta }{2\pi }    עבור   \ 0 < \theta < 6 \pi

הספירלה הארכימדית היא ספירלה מפורסמת שהתגלתה בידי ארכימדס, אותה ניתן לבטא באמצעות משוואה פולרית פשוטה. היא מתוארת על ידי המשוואה

\ r(\theta) = a+b\theta. \,

שינוי הפרמטר  a יסובב את הספירלה ואילו שינוי הפרמטר  b ישנה את המרחק בין הזרועות, שעבור ספירלה נתונה הוא תמיד קבוע. לספירלת ארכימדס יש 2 זרועות, אחת עבור \ \theta>0 ואחת עבור \ \theta<0. שתי הזרועות מתחברות באופן חלק בחלק. לקיחת תמונת המראה של זרוע אחת מעבר לקו תיצור את הזרוע השנייה.

מקרה פרטי של הספירלה הוא ההיפרבולה הפולרית,

חתכי חרוט[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חתכי חרוט
אליפסה, ומראה החצי לטוס-רקטום

חתך חרוטי עם מוקד אחד על ראשית הצירים והשני במקום אחר על הקרן 0° (כך שחצי הציר הראשי נמצא על ציר ה-x) מתוארת על ידי המשוואה

\ r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}

כאשר e היא האקסצנטריות ו-\ \ell הוא חצי הלטוס רקטום (המרחק בציר y מהמוקד שנמצא על הציר הראשי אל העקומה). אם e > 1, המשוואה מגדירה היפרבולה, אם e = 1, היא מגדירה פרבולה, ואם e < 1 היא מגדירה אליפסה. המקרה הפרטי שבו e = 0 מגדיר מעגל עם רדיוס \ \ell.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]