מבחן t

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בסטטיסטיקה, מבחן t הוא שם כולל לכמה מבחנים סטטיסטיים העוסקים בהשערות על התוחלת של נתונים המגיעים מהתפלגות נורמלית, כאשר השונות אינה ידועה. במבחנים אלו סטטיסטי המבחן מתפלג בהתפלגות t בהינתן שהשערת האפס נכונה. אם המדגם גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות ידועה. מבחני t מכונים גם מבחני סטודנט על פי שם העט של החוקר ויליאם גוסט שפיתח אותם.

שימושים עיקריים למבחני t[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מבחן השערות בו נרצה לקבל או לדחות השערות המתארות את ערכה של התוחלת באוכלוסייה כלשהי, על סמך מדגם בודד.
  • מבחן השערות בו, על סמך שני מדגמים, נרצה לקבל או לדחות השערות בנוגע ליחס בין התוחלות של האוכלוסיות מהן לקוחים המדגמים (הווריאציה של מבחן זה עבור מקרים בהם לא נוכל להניח כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות בקירוב, נקראת לעתים מבחן ולץ').
  • מבחן השערות לתוחלת עבור דוגמאות מזווגות: מבחן השערות לגבי תוחלת של שתי אוכלוסיות שונות, במקרים בהם נוכל "לזווג" בין פרטים בין שתי האוכלוסיות.
  • מבחני השערות בנוגע לקורלציה בין שני משתנים מקריים.

דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעוניינים לבדוק את השערת ה-0, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת , כאשר השונות אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), נרצה לדחות או לקבל את ההשערה ש- עבור נתון כלשהו. נגדיר,

נמצע את המדגם . כעת, אם נניח ש- מתקיימת אז הרי הסטטיסטי מתפלג בצורה נורמלית סטנדרטית (ע"ע משפט הגבול המרכזי). אולם, משום שהשונות, , אינה ידועה לנו, לא נוכל להשתמש בסטטיסטי הנ"ל. במקום זאת נשתמש בסטטיסטי שעושה שימוש בשונות שנאמדה מתוך המדגם. נסמן את סטיית התקן שנאמדה מתוך המדגם כ- ונסתכל על הסטטיסטי .

מכיוון שהמכנה אינו קבוע, הסטטיסטי הזה אינו מתפלג נורמלית; ההתפלגות שלו נקראת התפלגות t, עם דרגות חופש. כעת, נמצא את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית עבור שגיאת (לשגיאה מסדר ראשון), כלשהי:

כלומר,

כעת, בהתקבל מדגם, נדחה את אם .

הערה: התפלגות t מתכנסת להתפלגות נורמלית ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי התפלגות נורמלית סטנדרטית.