משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים. המשפט קובע שבתנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים מתקרבת להתפלגות נורמלית. מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, המשפט מסביר את הדומיננטיות של ההתפלגות הנורמלית. את המשפט הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.

הגרסה החלשה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת \ \mu ושונות \ \sigma^2. נסמן ב- \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה \ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים \ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: \ \lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z), כאשר \ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

הגרסה החזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

  1. \ \forall k : \ E(X_k) = 0 (אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
  2. \ \forall k : \ E(X_k^2) = \sigma_k^2 < \infty (שונות סופית).
  3. \ \forall k : \ E(|X_k|^3) < \infty

נסמן  \ S_n = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{\sigma_k^2}}. אם \ \ \mbox{lim}{ \frac{1}{S_n^3}  \sum_{k=1}^{n}{E(|X_k|^3)} } = 0 \ \ , אז סדרת המשתנים המקריים \ \frac{X_1 + \cdots + X_n}{S_n} מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם \ X\sim Bin(n,p) - המשתנה \ X מתפלג בינומית, אז כאשר \ n גדול מתקיים \ X\approx N(np,npq), כלומר \ X מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם תוחלת \ np ושונות \ npq, כאשר \  p + q = 1.

ניתן לראות משתנה בינומי \ X כסכום סדרת משתנים מקריים \ Y שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות \ p ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא \ \mu=p והשונות שלו היא \ pq. לכן, כאשר \ n גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)

כאשר \ Z\sim N(np,npq).

יישומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת ההסתברות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בספרות יש מספר דוגמאות מעניינות ושימושיות ויישומים הקשורים למשפט הגבול המרכזי. מקור אחד מציין את הדוגמאות הבאות:

  • התפלגות המרחק הכולל שעוברים בהילוך מקרי (מוטה או חסר הטיה) ייטה להתפלג נורמלי.
  • הטלת מטבע מספר רב של פעמים יניב את ההתפלגות הנורמלית עבור המספר הכולל של "עץ" (או "פלי" באופן שקול).

מנקודת מבט אחרת, משפט הגבול המרכזי מסביר את ההופעה התדירה של "עקומת הפעמון" בהערכות צפיפות המופעלות על מידע מהעולם האמיתי. במקרים כמו רעש אלקטרוני, ציוני מבחן וכו', נוכל בדרך כלל להתייחס לתצפית בודדת כממוצע ממושקל של מספר רב של גורמים קטנים. אם נשתמש בהכללות של משפט הגבול המרכזי נוכל לראות שזה לרוב יניב (אך לא תמיד) התפלגות סופית שהיא בערך נורמלית.

באופן כללי, ככל שתצפית היא יותר כמו סכום של מ"מ בלתי תלויים עם השפעה זהה על התוצאה, היא מתאפיינת ביותר נורמליות. זה מצדיק את השימוש הנפוץ בהתפלגות זו כדי להשלים את ההשפעה של משתנים מקריים שלא נצפו במודלים כמו במודל הלינארי.

מחוץ לתורת ההסתברות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן מפתיע למדי, למשפטי גבול בתורת ההסתברות יש יישומים גם מחוץ לתורת ההסתברות.

למשל, בעזרת משפט הגבול המרכזי ניתן לחשב את הגבול L=\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\dots\int_{0}^{1}\cos\left(\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{\sqrt{n}}\right)dx_{1}\dots dx_{n} .

כדי לעשות זאת, לוקחים משתנים מקריים בלתי תלויים X_1,\dots , X_n המתפלגים אחיד בקטע [0,1] (עם מידת לבג).כל משתנה כזה הוא בעל תוחלת אפס ושונות \sigma=\frac{1}{\sqrt{3}}. משתנים אלו "מייצגים" את המשתנים x_1,\dots,x_n במרחב האוקלידי ולכן הם בלתי תלויים. אם כן האינטגרל שווה לתוחלת של המ"מ \cos\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}}\right).

לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים \frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}}\longrightarrow N\left(0,\sigma^{2}\right) . כעת, ניתן להסיק מהמשפט גם התכנסות חלשה (ולמעשה התנאי שקול להתכנסות בהתפלגות) - כלומר, לכל פונקציה רציפה וחסומה f מתקיים E[f(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}})] \to E[f(N(\mu,\sigma^2))]; במקרה שלנו, \cos היא רציפה וחסומה, ולכן הגבול שווה ל

L=E\left[\cos\left(N\left(0,\sigma^{2}\right)\right)\right]=E\left[\frac{e^{iN\left(0,\sigma^{2}\right)}+e^{-iN\left(0,\sigma^{2}\right)}}{2}\right]=\frac{1}{2}\left(\varphi_{N\left(0,\sigma^{2}\right)}(1)+\varphi_{N\left(0,\sigma^{2}\right)}(-1)\right)=e^{\frac{1}{6}}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]