מוליכים למחצה מחוץ לשיווי משקל

בפיזיקה סטטיסטית משתמשים בניתוח מיקורסקופי של מערכות על מנת להבין תכונות ותופעות מאקרוסקופיות של המערכת. מוליכים למחצה הם חומרים בעלי תכונות הולכה מעניינות, אשר גם הם מטופלים על ידי שיטות של פיזיקה הסטטיסטית.

העיסוק במוליכים למחצה מחוץ לשיווי משקל מבקש לתאר את המוליך כאשר אינו נמצא בשיווי משקל תרמודינמי, למשל מוליך למחצה הנושא זרם חשמלי (זהו אינו שיווי משקל תרמודינמי שכן ישנו מעבר של אלקטרונים דרך המערכת).

הקדמה

העיסוק במוליכים מחוץ לשיווי משקל הוא הכרחי כל אימת שרוצים לתאר את הפיזיקה של תהליך שאינו בשיווי משקל במוליך למחצה. כיוון שמרבית התהליכים אינם סטאטיים הצורך בכלים מתאימים הוא ניכר.

דוגמה נפוצה לכך היא הלייזר דיודה אשר הוא רכיב אלקטרו-אפוטי העשוי מוליך למחצה. כיוון שבעת הפעלת הלייזר ישנה זרימה של מטענים, השקעת אנרגיה (הפעלת שדה) ואיבוד אנרגיה (הפוטונים הנפלטים) לא ניתן לתאר את המערכת בכלים של הסתכלות על מצב שיווי המשקל.

בערך זה ננסה לתת טעימה בסיסית לכיצד מטפלים במצב זה.

פיזיקה סטטיסטית של מוליכים למחצה

תחילה נציג כמה תוצאות בסיסיות עבור מוליכים למחצה (מומלץ לעבור על ערך זה על מנת להבין את המושגים הבסיסיים).

גדלים חשובים עבור מוליך למחצה

ראשית נגדיר מספר גדלים בסיסיים עבור התיאור של מוליכים למחצה

$\epsilon _{c}$ - אנרגיית פס ההולכה - האנרגיה המינימלית האפשרית לאלקטרון הולכה.

$\epsilon _{v}$ - אנרגיית פס הערכיות - האנרגיה המקסימלית האפשרית לאלקטרון ערכיות.

$\epsilon _{g}=\epsilon _{c}-\epsilon _{v}$ - הפרש האנרגיה בין פס ההולכה לפס הערכיות.

$n_{e}$ - ריכוז אלקטרוני ההולכה - האלקטרונים הנמצאים בפס ההולכה.

$n_{h}$ - ריכוז החורים - המקומות הפנויים בפס הערכיות.

קל לראות כי במוליך למחצה נייטרלי מתקיים $n_{e}=n_{h}$.

$n_{d}^{+}$ - ריכוז של "אטומים תורמים" טעונים חיובית.

$n_{a}^{-}$ - ריכוז של "אטומים מקבלים" טעונים שלילית (ראה "אילוח וסוגי הולכה" במוליך למחצה).

כעת אם נסתכל על מוליך למחצה מאולח עם הריכוזים שלעיל התנאי על הנייטרליות הוא כעת $n_{e}-n_{h}=\Delta n=n_{d}^{+}-n_{a}^{-}$. זה נובע מכך שכל אטום תורם מוסיף אלקטרון למטענים הניידים וכן אטום מקבל מוסיף חור למטענים הניידים.

$\mu$ - הפוטנציאל הכימי של האלקטרונים. עבור מוליכים למחצה מתקיים $\epsilon _{v}<\mu <\epsilon _{c}$.

הקירוב הקלאסי

אלקטרוני ההולכה ניתנים לתיאור כגז פרמיונים, מכך נוכל לרשום עבורם את התפלגות פרמי-דיראק:

$f_{e}(\epsilon )={\frac {1}{1+e^{\beta \left(\epsilon -\mu \right)}}}$

כאשר:

• $\mu$ - הפוטנציאל הכימי של האלקטרונים.
• $\beta$ - הטמפרטורה ההופכית כלומר $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ (כאשר $k_{B}$ זהו קבוע בולצמן).
• $f_{e}(\epsilon )$ - מספר האלקטרונים במצב בעל אנרגיה $\epsilon$.

באותו אופן עבור החורים פונקציית האכלוס היא $f_{h}(\epsilon )=1-f_{e}(\epsilon )$ זאת כיוון שכל מצב שאינו מכיל אלקטרון בהכרח מכיל חור. ולכן מקבלים:

$f_{h}(\epsilon )={\frac {1}{1+e^{\beta \left(\mu -\epsilon \right)}}}$

אנו רוצים להגיע לביטוי הנותן את ריכוז האלקטרונים כתלות ב $\mu$ ו $\beta$. אנו נניח כי גם החורים וגם האלקטרונים נמצאים בקירוב הקלאסי, כלומר:

$f_{h}(\epsilon )\approx e^{-\beta \left(\mu -\epsilon \right)}$ ; $f_{e}(\epsilon )\approx e^{-\beta \left(\epsilon -\mu \right)}$

זה שקול לכך שההסתברות לאכלוס של רמת אנרגיה מסוימת הוא נמוך (בדומה לקירוב של גז אידיאלי).

כעת נרצה לספור את כל אלקטרוני ההולכה, לטובת כך נצטרך לסכום על כל רמות האנרגיה בפס ההולכה:

$N_{e}=\sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\mu \right)}=e^{-\beta \left(\epsilon _{c}-\mu \right)}\sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\epsilon _{c}\right)}$

נבחין כי לביטוי $\sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\epsilon _{c}\right)}$ יש צורה של פונקציית חלוקה, ועל כן נוכל להעריך את הסכום על ידי כך שהאלקטרונים בקירוב מתנהגים כמו גז אידיאלי. לכן האנרגיה של חלקיק בודד נתונה על ידי:

$\epsilon _{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ML^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})$ (ראה חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי).

לכן עלינו להעריך את הסכום:

$2\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}e^{-\beta \epsilon _{n}}=2\sum _{n_{x}}e^{-\alpha ^{2}n_{x}^{2}}\sum _{n_{y}}e^{-\alpha ^{2}n_{y}^{2}}\sum _{n_{z}}e^{-\alpha ^{2}n_{z}^{2}}=2\left(\sum _{n}e^{-\alpha ^{2}n^{2}}\right)^{3}$. כאשר סימנו $\alpha ^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}\beta }{2ML^{2}}}$ והוספנו פקטור 2 בגלל הניוון הנובע מקיומו של הספין 1/2.

כעת תחת ההנחה שאנחנו בגבול הקלאסי נוכל לעבור לגבול הרצף שכן ההפרש בין רמות האנרגיה של המצבים הוא קטן ממש בהשוואה לסקאלת האנרגיה בבעיה - $\tau$.

נחשב:

$2\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha ^{2}n^{2}}dn\right)^{3}=2{\frac {1}{\alpha ^{3}}}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{3}=2{\frac {\pi ^{3/2}}{8\alpha ^{3}}}=2{\frac {1}{8}}\left({\frac {2ML^{2}\tau }{\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}$

כלומר קיבלנו:

$N_{c}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}$

נוכל להגדיר את הצפיפות הקוונטית עבור האלקטרונים:

$n_{c}={\frac {N_{c}}{V}}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}$

ומהתפלגות פרמי דיראק בגבול הקלאסי נקבל:

$n_{e}=n_{c}e^{-\beta (\epsilon _{c}-\mu )}$

באותו אופן מקבלים עבור החורים כי:

$n_{e}=n_{v}e^{-\beta (\mu -\epsilon _{v})}$

כאשר ההגדרה של $N_{v}$ ו - $n_{v}$ אנלוגיות להגדרות של $N_{c}$ ו - $n_{c}$.

מהשתי תוצאות שקיבלנו ניתן לראות באופן כמותי כי מוליך למחצה עם פוטנציאל כימי אשר יותר קרוב לפס ההולכה יכיל יותר אלקטרוני הולכה מאשר חורים ונקבל מוליך "n-type". וכאשר הפוטנציאל הכימי יותר קרוב לפס הערכיות יהיו יותר חורים מאשר אלקטרוני הולכה ונקבל מוליך "p-type". (להבהרה בעניין מוליך "n-type" ו - "p-type" ראה מוליכים למחצה).

זרם חשמלי במוליכים למחצה

כאשר הפוטנציאל הכימי קבוע כתלות במיקום בתוך המוליך המערכת תשיג שיווי משקל ולא תהיה תנועת אלקטרונים, אך במקרה שהפונציאל הכימי משתנה כתלות במיקום נקבל תנועה של מטענים.

אם נניח כי הפוטנציאל הכימי משתנה לאט נוכל להניח כי הזרם החשמלי פרופציונלי לגרדיאנט של הפוטנציאל הכימי, כלומר:

$J_{e}\propto grad(\mu )$

כאשר $J_{e}$ זהו צפיפות הזרם (מטען ליח' שטח ליח' זמן) והוא שווה לצפיפות הזרם של האלקטרונים כפול מטען האלקטרון.

כעת אם נסתכל על הגרדיאנט של הפוטנציאל הכימי ככוח הפועל על המטענים נקבל כי הזרם החשמלי פרופורציוני לצפיפות האלקטרונים, כלומר:

$J_{e}={\tilde {\mu }}_{e}n_{e}grad(\mu )$

כאשר קבוע פרופורציה ${\tilde {\mu }}_{e}$ הוא הניידות החשמלית.

כעת נוכל להשתמש בקשר שפיתחנו עבור הצפיפות אלקטרוני ההולכה בחלק הקודם ועל ידי סידור מחדש לקבל:

$\mu =\epsilon _{c}+\tau \ln \left({\frac {n_{e}}{n_{c}}}\right)$

כעת נציב בביטוי לזרם ונקבל:

$J_{e}={\tilde {\mu }}_{e}n_{e}grad(\epsilon _{c})+{\tilde {\mu }}_{e}\tau grad(n_{e})$

שינוי באנרגיה של פס ההולכה נובע כתוצאה משינוי בפוטנציאל החשמלי במרחב, ושינוי בפוטנציאל חשמלי שווה למינוס השדה או באופן פורמלי:

$grad(\epsilon _{c})=-e\ grad(\varphi )=eE$

כעת נשתמש ביחס איינשטיין אשר מספר לנו כי:

$D_{e}={\frac {{\tilde {\mu }}_{e}\tau }{e}}$

כאשר $D_{e}$ - קבוע הדיפוזיה.

$J_{e}=e{\tilde {\mu }}_{e}n_{e}{\boldsymbol {E}}+eD_{e}grad(n_{e})$

ניתן לראות כי לזרם שני רכיבים - רכיב ראשון הוא זה המושפע מהפעלת שדה ותלוי בצפיפות האלקטרונים, ובניידות החשמלית. הרכיב השני הוא כתוצאה מהדיפוזיה של האלקטרונים מריכוז גבוה לנמוך, האלקטרונים זורמים במורד הגרדיאנט אך מכיוון שמטענים שלילי אנו מקבלים כי הזרם הוא במעלה הגרדיאנט ולכן איבר השני הוא בסימן חיובי.

ניתן לרשום את אותה משוואה עבור החורים, ומכיוון שהם הפוכי סימן נקבל כי האיבר של הדיפוזיה יהיה בסימן שלילי, כלומר:

$J_{h}=e{\tilde {\mu }}_{h}n_{h}{\boldsymbol {E}}-eD_{h}grad(n_{h})$

ראו גם

• מוליך למחצה
• פיזיקה סטטיסטית
• באנגלית: non-equilibrium thermodinamics

לקריאה נוספת

• Kittel, Charles, Thermal physics, W. H. Freeman and Company, 1980.